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que Riemann ne l'a pas su faire), il faudra de nouveaux progrès sur une no- 

 tion encore bien nouvelle, le genre des transcendantes entières. » 



L'auteur du Mémoire inscrit sous le n° 1 semble s'être souvenu des 

 paroles d'Halphen, et c'est à l'étude du genre des fonctions entières qu'il 

 a consacré tousses efforts. On sait qu'une fonction entière est dite de 

 genre n si elle peut se mettre sous la forme d'un produit de facteurs pri- 

 maires dans lesquels le polynôme qui figure en exposant dans l'exponen- 

 tielle est de degré n. M. Poincaré a fait connaître, il y a quelques années, 

 un théorème important sur les fonctions de genre n; il a établi que, si l'on 

 développe une telle fonction suivant les puissances de la variable, le coeffi- 

 cient de.r' n multiplié par la racine (n -f- i ieme ) du produit des m premiers nom- 

 bres tend vers zéro quand m croit indéfiniment. Il paraissait bien vrai- 

 semblable qu'un théorème, en quelque sorte réciproque, c'est-à-dire 

 permettant de décider du genre d'une fonction entière d'après l'ordre de 

 grandeur du terme général, ne pouvait exister. Il n'en est rien cependant 

 et c'est là précisément l'intéressante découverte du Mémoire qui nous est 



soumis. L'auteur établit que, si le coefficient de x m est de l'ordre de r , 



( I . 2 . . . 7/1 )"<■ 



la fonction sera de genre E, en désignant par E -+- i l'entier immédiatement 

 supérieur à 1. Quand 1 est entier, un doute subsiste : le genre peut être 

 égal à >. ou à >. — i. 



La démonstration du théorème précédent est très délicate et dénote un 

 esprit profond et pénétrant. Sans l'analyser ici, disons seulement que 

 l'auteur, rangeant les racines d'une fonction entière d'après l'ordre crois- 

 sant de leurs modules, commence par établir une formule fondamentale 

 qui fait connaître le produit des modules des/; premières racines sous la 

 forme de la limite supérieure à' une certaine fonction des coefficients. Il peut 

 alors montrer que, si le coefficient de x m dans une fonction entière est de 



l'ordre de — — — , la module de la o ieme racine croît au moins aussi vite 



( 1 . 2 . . .TW)** * 



qnep a ; c'est là le point essentiel dans la démonstration. 



Nous ne pouvons nous dispenser de citer, parmi les applications générales 

 de ces théorèmes, la réponse à une question posée depuis longtemps. Quelle 

 dépendance y a-t-il entre le genre d'une fonction entière et celui de sa dé- 

 rivée? Cette réponse est bien simple : La dérivée d'une fonction de genre E 

 est en général de genre E et au plus de genre E + i . 



L'étude du genre de la fonction K(s) n'offre plus maintenant aucune 

 difficulté. En introduisant au lieu de '((s) la fonction paire que Riemann 

 C. R., 1892, a- Semestre. (T. CXV, N" 25.) l48 



