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deux et une équation différentielle aux fonctions mêlées, dont l'intégration 

 fournirait tous les éléments partageant cette propriété. A un autre point 

 de vue, M. Weingarten a donné, dans les Goltinger Nachrichtcn pour 1887, 

 un élément linéaire de la forme de Liouville, avec la détermination de 

 toutes les surfaces correspondantes. 



Tel était l'état de la question quand elle fut mise au concours par l'Aca- 

 démie. Le problème proposé peut être envisagé sous deux points de vue 

 différents, suivant que l'on cherche seulement les formes d'éléments li- 

 néaires pour lesquelles l'équation des lignes géodésiques admet une ou 

 plusieurs intégrales quadratiques distinctes, ou suivant que l'on essaye, 

 après avoir découvert une de ces formes, de déterminer les surfaces cor- 

 respondantes. 



Le Mémoire n° 3 fournit une solution élégante et complète de la ques- 

 tion envisagée sous le premier point de vue. L'auteur trouve d'abord, par 

 des calculs directs, les éléments linéaires qui admettent trois ou plus de 

 trois intégrales quadratiques : il montre que les surfaces correspondantes 

 sont applicables sur certaines surfaces de révolution ou sur des surfaces à 

 courbure totale constante. Dans le cas où le nombre des intégrales qua- 

 dratiques est exactement deux, au lieu de recourir à des calculs fastidieux, 

 il emploie une méthode lumineuse fondée sur la considération des types 

 essentiels d'éléments linéaires et sur l'emploi d'un principe de réciprocité 

 qui permet de déduire, de solutions connues, de nouvelles solutions du pro- 

 blème. Par l'application de ce principe aux diverses formes de Liouville que 

 peut prendre l'élément linéaire du plan ou de la sphère, l'auteur est amené 

 à construire des formes d'éléments pour chacune desquelles il existe deux 

 intégrales quadratiques. Il démontre ensuite que les éléments linéaires 

 ainsi construits sont les seuls qui possèdent cette propriété : sa méthode, 

 fort ingénieuse, repose sur des considérations empruntées à la théorie 

 des fonctions et présente un caractère de généralité qui permet d'en 

 déduire une théorie de la résolution des équations aux fonctions mêlées. 

 L'auteur complète sa solution en montrant que les surfaces qui admet- 

 tent deux intégrales quadratiques pour leurs lignes géodésiques sont 

 représentables sur un plan, de telle façon que les images des géodésiques 

 forment un réseau tangentiel quelconque de coniques ; la surface est 

 applicable sur une surface de révolution ou sur une surface à courbure 

 constante, suivant que les coniques du réseau touchent deux ou trois 

 droites fixes. 



