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Avant ainsi résolu complètement, sous le premier point de vue, le pro- 

 blème posé par l'Académie, l'auteur donne encore, comme une consé- 

 quence immédiate de sa belle méthode, la solution du problème que M. Lie 

 a posé sans le résoudre entièrement. Pour arriver à déterminer tous les 

 éléments linéaires dont les géodésiques admettent des transformations in- 

 finitésimales, il faut particulariser les solutions du problème précédem- 

 ment traité, en déterminant certaines constantes arbitraires : une re- 

 marque simple ramène de dix à deux le nombre des essais à faire et conduit 

 aux types cherchés d'éléments linéaires. Les coniques du réseau tangentiel 

 correspondant aux lignes géodésiques sont alors tangentes à une droite 

 fixe et aux trois côtés d'un triangle variable inscrit dans une conique et 

 circonscrit à une autre conique. 



Nous espérons avoir fait ressortir, dans cette courte analyse, le remar- 

 quable talent d'un géomètre qui a su employer, avec un égal succès, les 

 méthodes de la Géométrie moderne et celles de la théorie des fonctions. 



Le Mémoire n° 2, malheureusement incomplet, est également l'œuvre 

 d'un géomètre de mérite. Dans une première Partie, il renferme, sous une 

 forme concise, la démonstration des théorèmes donnés dans le Mémoire 

 n° 3 sur les surfaces dont l'élément linéaire possède trois ou plus de trois 

 intégrales quadratiques; puis il contient l'indication des intégrations à 

 faire pour trouver les formes de Liouville d'un élément linéaire donné, 

 suivant qu'il existe deux, trois ou plus de trois intégrales quadratiques. 

 L'auteur ne se préoccupe pas de la détermination des éléments linéaires ad- 

 mettant exactement deux intégrales quadratiques. Mais, dans une deuxième 

 Partie, il se place au second point de vue, sous lequel on peut envisager le 

 problème proposé, et traite une question dont aucun des autres concur- 

 rents ne s'est occupé. Il cherche un élément linéaire de Liouville tel, qu'on 

 puisse déterminer toutes les surfaces correspondantes. En appliquant une 

 méthode d'intégration de M. Darboux, il trouve un élément qui remplit ces 

 conditions et qui comprend, comme cas particulier, la forme donnée en 1887 

 par M. Weingarten. Une première rédaction du Mémoire n° 2 ayant été 

 déposée à l'Académie en 1890, avec ce résultat, cette nouvelle forme d'élé- 

 ment appartient bien à l'auteur, quoiqu'elle ait été donnée aussi en 1891, 

 sous une forme plus élégante, par M. Weingart<n (Comptes rendus. 

 t. CXII, p. 707). A la fin de son travail, l'auteur cherche les éléments 

 linéaires pour lesquels les coordonnées des surfaces correspondantes ne 

 contiennent qu'une fonction arbitraire. Cette partie est inachevée; l'au- 



