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leur indique seulement l'existence d'un cas très général, sans donner 

 l'expression de l'élément linéaire. 



lie Mémoire n° i doit aussi être signalé. Dans une première Partie, 

 l'auteur, après avoir établi un théorème qui se trouve également dans le 

 Mémoire n° 2 sur les surfaces dont les lignes d'égale courbure sont paral- 

 lèles, démontre, pour les intégrales linéaires et quadratiques de l'équation 

 aux cercles géodésiques, plusieurs propositions intéressantes qui sont en 

 partie des réciproques de théorèmes de M. Darboux, en partie des géné- 

 ralisations de théorèmes de M. Massieu. Il s'occupe ensuite des surfaces 

 admettant plusieurs intégrales quadratiques pour leurs géodésiques. Por- 

 tant enfin son attention sur les éléments linéaires avec deux intégrales 

 seulement, il traite la question qui a été résolue dans le premier Mé- 

 moire (n°3). Ce Chapitre du travail présente deux phases bien distinctes : 

 l'auteur emploie d'abord la voie des dérivations successives, qui le con- 

 duit à des calculs fort longs sans l'amener au résultat final; puis, chan- 

 geant de méthode, il suit une marche analogue à celle du Mémoire n° 3, 

 en partant de la loi de réciprocité et d'une loi dite de passage pour former, 

 a priori, des éléments linéaires, et se servant ensuite de la théorie des 

 fonctions pour prouver que ces éléments sont les seuls qui remplissent les 

 conditions demandées; la conclusion est exacte, mais certains des raison- 

 nements prêtent à de graves objections. D'ailleurs, quand bien même ces 

 raisonnements auraient été irréprochables, la priorité des méthodes et 

 des résultats n'en serait pas moins acquise à l'auteur du Mémoire n° 3, car 

 les passages du Mémoire n° 4 que nous venons d'analyser ont été déposés 

 bien après la clôture du concours. Dans cette partie du travail, qui se ter- 

 mine par quelques propositions relatives au problème de M. Lie, se trouve 

 le théorème suivant, donné également dans le Mémoire n° 3 : les éléments 

 linéaires des surfaces de révolution avec deux intégrales quadratiques sont 

 représentables géodésiquement les uns sur les autres. 



Dans une autre Partie, l'auteur, désireux de traiter aussi la question 

 envisagée sous le second point de vue, cherche des surfaces de Liouville 

 rentrant dans une catégorie de surfaces donnée à l'avance. Il arrive à dé- 

 terminer toutes les surfaces réglées et toutes les surfaces spirales possé- 

 dant la propriété demandée, en employant, d'une part, le théorème 

 énoncé au début de cette analyse, et, d'autre part, la voie du calcul direct. 

 Mais, dans cet ordre d'idées, la question résolue par l'auteur du Mémoire 

 n° 2 doit être regardée comme beaucoup plus importante. 



Un quatrième Mémoire, inscrit sous le n° 1, contient surtout des consi- 



