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 première classe sont celles de M. Picard; maison connaitdepuis longtemps 

 une surface de la deuxième classe à laquelle est attaché le nom de Kum- 

 mer. 



La plus grande partie du Mémoire est consacrée à la théorie de la sur- 

 face de Ruminer; bien que cette surface ait déjà fait l'objet des travaux 

 d'un grand nombre de géomètres allemands, l'auteur a découvert beau- 

 coup de propriétés nouvelles dont quelques-unes s'énoncent fort élégam- 

 ment. Il s'attache surtout à l'étude des courbes tracées sur la surface. On 

 sait quelles difficultés présente la classification des courbes gauches et, en 

 particulier, de celles qui sont tracées sur une surface donnée. Cette ques- 

 tion, abordée par notre regretté confrère Halphen, lui avait inspiré un 

 Ouvrage justement admiré de tous les géomètres, et couronné autrefois 

 par L'Académie de Berlin. 



Le problème a été résolu complètement par Halphen pour quelques 

 surfaces, pour celles du second degré par exemple. Grâce à l'emploi des 

 fonctions abéliennes, l'auteur du Mémoire fait pour la surface de Ruminer 

 ce qu'Halphen avait fait pour les quadriques. Il étudie en outre, avec de 

 grands détails, les surfaces inscrites dans celle de Rummer, les relations 

 delà surface de Rummer avec sa réciproque, les surfaces adjointes à celle 

 de Rummer. 



Quatre Chapitres sont consacrés à l'étude des surfaces de M. Picard et 

 des courbes que l'on peut tracer sur elles. Le plus important est celui où 

 se trouve établie la liaison entre les fonctions hyperelliptiques et les sur- 

 faces adjointes à une surface hyperelliptique donnée. 



Revenant enfin aux surfaces hyperelliptiques de la deuxième classe, 

 l'auteur étudie celles qui sont telles qu'à chacun de leurs points corres- 

 pondent deux couples d'arguments, et il montre que ces surfaces corres- 

 pondent point par point à celle de Rummer. 



En résumé, le Mémoire qui est soumis au jugement de l'Académie con- 

 tient l'étude complète de plusieurs surfaces intéressantes et de leurs rela- 

 tions avec les fonctions abéliennes; c'est là une conquête très précieuse 

 pour la Géométrie, et qui ne sera pas non plus inutile à l'Analyse pure, 

 puisqu'elle nous aidera à nous représenter d'une manière plus concrète 

 les propriétés de ces transcendantes. La Commission a donc été unanime à 

 proposer de décerner le prix Bordin à l'auteur du Mémoire portant pour 

 épigraphe : 



Pendent opéra inlerrupta. 



L'auteur de ce Mémoire est M. Humbert. 



