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compléter l'hypothèse en supposant tpie sur S, par exemple, le réseau 

 (A, B) se réduit aux lignes asymptotiques de la série considérée. 



» D'autre part, chaque solution 9 de l'équation F donne une surface S', 

 pour laquelle le réseau conjugué (u, v) a la même représentation sphé- 

 rique que pour S; si donc on mène par le point M' de S', qui correspond 

 à M, une parallèle S' à S, cette droite engendre une congruence H' ad- 

 mettant la représentation sphérique de H et pour laquelle la distance fo- 

 cale X est une solution de l'équation G, . 



» On peut ainsi, dans les conditions indiquées, déduire, à l'aide de diffé- 

 rentiations ou de quadratures, de chaque solution de l'une des équations F 

 ou F,, une solution de. l'adjointe à l'autre; et inversement. 



» Chaque solution de l'équation F permet, par exemple, de détermi- 

 ner une surface sur laquelle les développables de la congruence engendrée 

 par les tangentes aux lignes («) de S, découpent un réseau conjugué. Si 

 pour la ligne S on prend la tangente à la ligne (c) de S, S' devient la tan- 

 gente à la ligne (m) de S,, et l'on obtient des résultats équivalents à ceux 

 donnés récemment par M. Cosserat. 



» Quand sur la surface S le réseau («, v) est celui des lignes de cour- 

 bure, j'ai montré que l'on peut, de chaque solution 9 de F, déduire une so- 

 lution [j. de son adjointe G, et inversement. Les considérations précédentes 

 permettent d'obtenir le même résultat dans un grand nombre d'autres cas, 

 parmi lesquels je citerai celui où les lignes (y) sont des géodésiques de S, 

 celui où les tangentes aux lignes (v) forment une congruence de Ribaucour, 

 et, enfin, celui où le réseau (u, v) admet la représentation sphérique d'une 

 congruence cyclique. 



» 11 en résulte aussi une méthode pour former des équations de Laplace 

 qui admettent des transformations infinitésimales. Effectivement, si le 

 réseau (m, v) de S appartient à deux des catégories précédentes, on peut, 

 de chaque solution 6 de F, déduire deux solutions de \l et y.' de son adjointe. 

 Appliquant alors à y.' la règle qui permet de revenir de jj. à 9, on obtient 

 bien une solution nouvelle 9' de G. M. Guichard a déjà rencontré des faits 

 de ce genre dans ses recherches sur certaines surfaces qui se rattachent 

 aux surfaces à courbure totale constante; j'indiquerai seulement ici ceux 

 qui sont utiles dans la détermination des couples de surfaces applicables. 

 » Supposons qu'il existe une surface 2 applicable sur S avec correspon- 

 dance des réseaux conjugués (u, v), désignons par M', ce', y' , z', «, a', . . ., 

 y", l, ...,r t ,p',p\,^ les éléments de cette surface, par<ï> et r les équations 



