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» L'équation (i) admet comme solutions les cosinus des angles de la 

 normale à la surface (A) avec trois axes rectangulaires fixes; le théorème 

 de M. Darboux sur les systèmes conjugués admet, par suite, comme cas 

 particulier, le suivant dû à M. Bianchi. 



» Soit un couple de sur/aces associées (A) et (A,); la distance d'un point O 

 au plan tangent d'une de ces surfaces est fonction caractéristique d'une dé- 

 formation infinitésimale de l'autre. 



» Soit (A,) la surface, associée à (A), dont le plan tangent est mené, 

 parallèlement à celui de (A), à une distance de O égale à z { ; AA 2 étant un 

 segment équipollent à OA,, la droite AA 2 engendre une congruence de 

 Ribaucour dont (A) est la surface moyenne; les plans tangents à (A), 

 (A ( ), (A,) aux points correspondants sont parallèles; les développables 

 des congruences engendrées par AA, et par AA 2 découpent donc (A) sui- 

 vant le même réseau conjugué à invariants égaux et l'on a le théorème 

 suivant qui peut être généralisé : 



» Pour que deux surfaces (A) et (A,), se correspondant point par point 

 avec parallélisme des plans tangents, soient associées, il faut et il suffit que si 

 l'on considère la congruence des droites AA,, ses développables découpent (A) 

 et (A,) suivant des réseaux conjugués à invariants égaux ou encore que les 

 points focaux de AA, soient conjugués harmoniques par rapport à A et A, . 



» En particulier, les surfaces isothermiques, qui se correspondent dans le 

 problème de M. Christoffel, sont associées. 



» B étant le milieu de NN,, menons Ob équipollent à BN ; la surface (6), 

 qui est polaire réciproque de (A,), par rapport à une sphère de centre O, 

 est associée à (a) dans la déformation infinitésimale de (a), définie par le 

 couple de surfaces applicables (M) et (M 2 ); les plans tangents en a et b 

 aux surfaces (a) et (b) étant parallèles, la parallèle à Ob, menée par a, 

 engendre une congruence de Ribaucour dont les développables découpent 

 sa surface moyenne (a), suivant le même réseau conjugué que les déve- 

 loppables de la congruence des droites ab; d'où, en vertu de la récipro- 

 cité entre (A) et (B), ce théorème de M. Ribaucour : 



» Les asymptotiques se correspondent sur les deux nappes (A) et (B) de la 

 surface focale de la congruence des droites AB. 



» Considérons le réseau conjugué Je (A) qui reste conjugué dans la 

 déformation infinitésimale qui transforme (A) en (A'); il lui correspond : 

 i° le réseau conjugué commun à (M), (M,), (M„) et, par conséquent, le ré- 

 seau conjugué de (a) qui reste conjugué dans la déformation infinitésimale 



