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d(Vu) rf(U«') 

 » En opérant de même sur les expressions , — > — -^ — > on trouve 



successivement 



(5) pF,(p + *)-+- P'F,(p'+i)i±i(Y- ' >1V y -'') + (»- + P + P '-y) f < 



et 



f (y-atXY-P-PO^r^CT + O 



(6) =[(a y - p - p'- a - i).rv - pj - 3'tf]yF f 



f -yfr-i^jF.Cy-O-l-ySyF.^ + O + yS'tfF^S'+i). 



» On peut donc énoncer le théorème suivant : 



» Entre la fonction F, et trois quelconques des huit fonctions contiguès 

 F, (a ± i), F, (S ± i), F,(p'± i), F, (y ± i) existe une relation linéaire et 

 homogène dont les coefficients sont des polynômes entiers en x et en y. 



» D'ailleurs, de la formule 



(a, m-H/i)(P, iw)(P', n) „m.,„ 



m — - m 



F,(«,P,P, Y ;^J)=2 2TY,m + «)(.,i«)0.«)* ■* 



m=0 n— 



on déduit a sèment 



F l(P + I ) = F ) + fS- 



F,(P'+i) = *« + #?£. 



F 1 (y-i) = F ( 4- T - i .^^+ 7 ^ 



» L'énoncé du théorème précédent peut donc être ainsi modifié. 



n Les huit fonctions contiguès sont des fonctions linéaires et homogènes 



de F., de ^r 1 et de -*-*-, les coefficients étant des fonctions rationnelles de x et 

 " ax oy JJ 



de y- 



» La méthode indiquée pour obtenir ces relations s'applique sans diffi- 

 culté aux fonctions contiguès suivantes, et l'on peut dire que toute fonction 

 contigué F, (a ± m, 3 ± n, p'± n', y ± p; x, y) est une fonction linéaire 



et homogène de F,, de -j 1 et de ~, les coefficients étant des fonctions ration- 

 nelles de x et de y. 



» A cause de la formule 



d«*»F l <*,p,|> , ,Tr;*,jO 



dx m dy" 



{ a, m -+- «)(P> m)(<i', «) r , , a D , x 



(y, m -h 7i) ' 



