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 Oïl voit que tes dérivées partielles d'ordre supérieur à un de fa fonction F, 

 peuvent s'exprimer en fonction linéaire et homogène de F,, de'—' et de '~, 

 les coefficients étant des fonctions rationnelles de x et, de y. 



» On pourra ainsi trouver en particulier, par cette méthode, les trois 

 équations aux dérivées partielles du second ordre bien connues auxquelles 

 satisfait la fonction F,. 



» Les mêmes théorèmes un peu modifiés ont lieu pour les fonctions 

 h h 



qr = I u d Ut i = | U du, J = / U du (g et h étant des constantes quel- 

 le -s ' £ 



conques). La seule modification à introduire est que les relations indi- 

 quées ne sont plus toujours homogènes. Il y aura, par exemple, un terme 



indépendant de W, de -y- > et de -y-, et qui, en général, sera de nature trans- 

 cendante. Ajoutons que les relations concernant F, et ses contiguës peu- 

 vent chacune se vérifier directement. Il n'y a par suite aucune restriction 

 à faire sur les valeurs de a, $, (i' et y. 



» 2. On sait que le système des trois équations aux dérivées partielles 

 simultanées du second ordre auxquelles satisfait la série hypergéométrique 



F, (a, p, (3', y; x,y) admet dix intégrales delà forme / U du, où g et h dé- 



"• g 



signent deux des cinq quantités o, i, ce, -, - • 



x y 



» Si l'on veut chercher les relations linéaires entre trois ou quatre de 

 ces intégrales supposées non. distinctes, on s'aperçoit aisément que ces re- 

 lations ne subsistent, pas pour toutes les positions de x et y dans le plan. Il y a, 

 dans le cas présent, quatorze tableaux distincts de relations entre les dix 

 intégrales considérées. 



» En précisant, dans chaque intégrale, les arguments choisis pour u, 

 i — u, i — ux, i — uy, ainsi que les chemins suivis, on arrive aux résultats 

 suivants : 



» I. x et y sont tous deux dans la région inférieure du plan : 



Tableau 1. — Le segment de droite ( i — x, i — — J coupe X entre o et i ; 

 Tableau 2. — » » » » à gauche de o; 



Tableau 3. — » » ( i — y, i — - ] » entre o et i; 



Tableau k. — » » » , » à gauche de o. 



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