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dont le calcul est d'une simplicité comparable à celle des calculs de 

 MM. Loir et Perrin. L'emploi de ces nombres fait l'objet de la présente 

 Note. 



» Soit N le nombre proposé, M un diviseur quelconque, premier ou 

 non, mais non composé avec des facteurs de la base B de numération. 



Soit q le résidu minimum (compris entre et 4- — J de B'" (m entier 



positif) suivant le module M. Je puis décomposer N, en commençant par 

 la droite, en tranches de m chiffres, l m , ■/.,„, . . . , y m , (3,„, «,„, de telle sorte 

 que, si/(,r) désigne la fonction a. m x n -+- ^, n x"~' -+- y in x"~- ■+-... y-, n x -t- l m , 

 on ait N = i /(B m ). Cela posé, j'observe que, d'après la définition de q, on a 

 B'"= q -+- M£2 (Q. étant un certain entier positif). J'en déduis 



(N =/(</ + Ma) 



(0 j =/(?) + M £/(*) + M2 lif'W) + • • • + M " ïï-^Cf )• 



» Cette égalité m'apprend que N et /(q) ont même résidu minimum 

 (mod M), /(q), que je désignerai par A m , étant toujours plus petit que N, 

 je puis m'en servir comme de critérium de divisibilité de N par M. Son 

 expression est 



a„, = a m q" ■+■ Kg"'* + Y*»? ■+■••■ + v m q + \„- 



» Si je ne veux l'utiliser que pour rechercher le résidu minimum de N 



(mod M), j'observerai que, dans son développement, certaines puissances 



de q, à partir de la (n — k) iéme , peuvent être supérieures, en valeur 



M 

 absolue, à — • On pourra, dans ce cas, former un autre nombre & m , congru 



à A m (mod M), en remplaçant q n ~ k , q n ~ k+i , . . ., q" par leurs résidus mini- 

 mums r n _ k , r„_ A+l , . . ., r n suivant le module. Ce nombre 



sera plus petit et d'un calcul plus facile que A m . Ses coefiicients pourront 

 être calculés à l'avance pour chaque module M. m est limité lui-même, 

 d'abord par le théorème d'Euler, qui nous apprend qu'une de ses valeurs 

 m,, diviseur de 9 (M) correspond à q = 1 , et par ce fait que, dans certains 

 cas, la valeur m 2 de m, qui correspond à q = — 1, est plus petite que m,. 

 Si donc, le nombre des chiffres de N est très grand, on commencera par 

 former, par voie d'addition ou de soustraction, un autre nombre A, Mi ou À,„„, 

 qu'on ramènera toujours à n'avoir que m t (ou/n,) chiffres au plus. Puis 



