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on choisira, parmi les puissances de B inférieures à la m" (ou la m e a ), celle 

 à laquelle correspond la valeur de q, qui fournit les coefficients de l'usage 

 le plus facile pour le calcul des nombres A ou 6. 



» Ainsi, si nous voulons chercher le critérium de 43 dans le système 

 décimal, nous observerons que io 21 -+- 1 = o(mod 43), et nous ramène- 

 rons N à un nombre A.,, qui aura 21 chiffres au plus. Puis, comme 

 io' — 6 = o(mod43 ), nous diviserons A.,, en tranches de 7 chiffres et 

 nous aurons 



©7 =-7*1 + 6 p7-t-T7- 



» Le nombre de 7 chiffres pourra être ramené lui-même à 3 en calcu- 

 lant e 3 = — 8a' ( -j- 11 Pj + y',, puis à 2 par a = i^y.° t + $" 2 , et ce dernier 

 donnera le résidu minimum de N (mod 43). 



» Le calcul direct du résidu n'est pas le seul avantage de l'emploi des 

 nombres A,„. J'ai fait voir par ailleurs ('), que la différence N — A a pour 

 valeur le produit de M par 



GK,(B"7--t- (x m q + (U(B"<)"- 2 + («,„? 2 + M + y,„)(B"r- 3 + ... 



+ (a™ f~ ' + P,„ q n ~ 2 + y,n q"~ 3 ■+- • • • - 4- *)] , 



où chaque coefficient de la parenthèse peut se déduire du précédent en le 

 multipliant par q et ajoutant un coefficient de f(x). A m provient du der- 

 nier suivant la même loi. Ce mode de calcul, qu'on a intérêt à employer 

 si l'on a besoin d'un quotient de N par M, réduit la division de tout nombre, 

 si grand qu'il soit, à celle d'un nombre limité m de chiffres (m ne dépen- 

 dant que du diviseur), et permet, dans certains cas, la suppression com- 

 plète de la division arithmétique ( 2 ). 



» Ce qui précède peut être établi (un peu moins brièvement, il est vrai) 

 au moyen des mathématiques les plus élémentaires, ce qui en rend l'appli- 

 cation aisée au grand nombre de calculateurs. » 



(') Mémoires de l'Académie de Toulouse, t. IV, 1892; Note sur la division, 

 p. 289. 



( 2 ) Association française, 19 septembre 1892; Pau. 



