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 des x, sont solutions d'un système d'équations aux dérivées partielles 



» La seule étude de ce système d'équations permet d'obtenir d'impor- 

 tantes propriétés des groupes. 



» Supposons, par exemple, les équations (i) d'ordre s, toute équation 

 du même ordre ou d'ordre inférieur que l'on peut en déduire par des dé- 

 rivations étant une conséquence de ces équations (i). Si l'on effectue sur 

 les x un changement de variables indépendantes, défini par une transfor- 

 mation T du groupe, le système (i) se transforme en un système équiva- 

 lent 



0') V,(y,., x'j, *Sj, • 



= o. 



» Par suite, on pourra disposer de la solution générale de (i'), de façon 

 que les x', exprimés en fonctions des x, donnent la transformation T, ce 

 qui exige 



d'où la transformation identique. 

 » Puis on pourra avoir 



Xj = Xi, 



d'où la transformation inverse de T. 



» Cette remarque m'a été communiquée par M. Engel, et la proposition 

 avait déjà été obtenue par M. Lie (Leipziger Berichte, p. 3 19; 1891) par 

 une méthode moins directe. 



» On peut aller plus loin. Considérons le système (1) comme définissant 

 un certain nombre de x' et de leurs dérivées en fonction des autres qui 

 sont alors les arbitraires de la transformation. Supposons cette dernière 

 effectuée sur une multiplicité définie par ji fonctions z h , z 2 , ..., z p de r 

 variables indépendantes y,, ...,y r ; et soit la multiplicité transformée 

 définie par p fonctions z\, . . ., z' de r variables y', , . . ., y,. ■ 



» Joignons aux équations (1) les relations qui définissent les dérivées 

 des s' par rapport aux y', en fonction des dérivées des z par rapport aux y, 

 et de celles des x' par rapport aux x 



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