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AntrA 



dx 



dx' 

 » L'élimination des -?- entre les équations (i) et (2) donnera certaines 



relations de la forme 



(3) u( r , ., g,.. .,r\ s \£\. ■.) = <> 



et donnera toutes les relations de cette forme. 



» Les équations (3) se présentent en outre sous une forme remarquable. 



Résolvons-les par rapport à un certain nombre de y, z, -^ , • • -, ce qui est 



possible, si la multiplicité y, z est la multiplicité la plus générale de sa 

 nature, si, par conséquent, elle ne satisfait pas à une certaine relation 

 invariante par rapport au groupe. Soit donc 



où les y,, z i>(j-)' ••• sont celles des quantités y, z, —, ••• qui figurent 



au second membre de ces équations. Si, alors, on considère simultané- 

 ment deux multiplicités quelconques y, z et y', z', puis une multiplicité 

 y", z" déduite de y', z' par une transformation du groupe, les deux sys- 

 tèmes d'équations 



{y> t'Ty' ■■) = ^ z - (ê)r'-' y ' z '> d 4> ■•*] 



(y,z, d -±,...) = ï[y { ,z,,(^), ...,y",z", d ^,...] 



et 



sont équivalents. Les <\i sont donc identiques dans ces deux systèmes, de 

 sorte que si ty sont leurs valeurs quand on y remplace y, , z, , l ~ \ > 

 par des constantes arbitraires, on a 



(3') +.(/, z'>^>---) = h{f> A {?> ■■•)■ 



» Les (j/ sont donc des invariants différentiels relatifs au groupe de trans- 

 formations proposé, et les équations (3) ont la forme (3') où l'on aurait 

 supprimé les doubles indices. 



