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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines solutions asymptotiques 

 des équations différentielles. Note de M. Emile Picard. 



« En étudiant les beaux travaux de M. Poincaré sur les solutions 

 asymptotiques aux solutions périodiques de certaines équations différen- 

 tielles ordinaires (Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste, Chap. VII), 

 j'ai été conduit à l'aire une remarque générale qui présente peut-être 

 quelque intérêt. 



» Soit un système d'équations du premier ordre 



(S) 



dx t 

 ~~dî 



= X i (x l , x,, ..., x n , t) (1 = 1, 2, ..., n), 



où les X sont des séries ordonnées suijant les puissances de ce t , x.,, . . ., 

 x n ; ces séries ne renferment pas de tertnes indépendants des x, et chacun 

 de leurs coefficients est une fonction de t dont la valeur absolue ne dé- 

 passe pas une limite fixe quand t varie entre o et + se. Elles sont d'ailleurs 

 convergentes quand les modules des x Restent, quel que soit t dans l'inter- 

 valle précédent, inférieurs à un certain nombre. 



« Si nous prenons seulement dans les X les termes du premier degré, 

 nous aurons un système d'équations linéaires 



(S) -^=a i{ x i + a i ,x,+...-+-a n x n (1 = 1, a, ..., »). 



» Nous nous plaçons maintenant dais l'hypothèse où l'intégrale géné- 

 rale du système (S) serait de la forme 



a-,= C 4 «-.</„.(!) + . .4- C n e-«*<f in (t), 



les « étant des constantes positives et les f des fonctions dont la valeur 

 absolue est inférieure à un nombre fixf. Supposons, de plus, que l'on ait 



/ (o n +fl M + ...+ «t)*= - («,+...-+- «„•)« + F(«), 



| F(/) | restant, quel que soit t, moindie qu'une quantité déterminée. 



» Ces diverses conditions étant renplies, voici le théorème que l'on 

 peut établir : Les intégrales du syslémé($), qui prendront pour t = o des va- 



