326 Ritter, Beiträge zur Physiologie des Hächenwachstums der Pflanzen. 



Selbstverständlich kann ja die Übereinstimmung zwischen 

 diesen Wurzelwerten und unseren Zwischenzahlen zunächst schon 

 als zwischen irrationalen Größen und ganzen rationalen Zahlen 

 auch nur eine beschränkte sein, und so ist es denn schon des- 

 wegen gar nicht zu verwundern, daß in einem Falle die Abweichung 

 zwischen Theorie und Praxis, auf den Zentimeter bezogen, sogar 

 4*^/0 beträgt. Bedenken wir aber noch zudem, daß auch überall 

 da, wo das Längenmaß eines Blattes nicht genau mit einem 

 Vielfachen des Millimeter kollidiert, also in den meisten Fällen, 

 wo vielleicht gerade die theoretisch verlangte Größe erreicht ist, 

 dennoch die Feststellung der größeren Annäherung an eine der 

 in solchen Fällen in Betracht kommenden fraglichen zwei Größen 

 stets wieder nur einen ganzzahligen Wert zum Ausdrucke bringt — 

 eine noch kleinere Maßeinheit erschien nicht empfehlenswert — und 

 ziehen wir in Erwägung, daß in allen den Fällen, wo etwa der 

 theoretische Wert ziemlich stark nach einer benachbarten unserer 

 rationalen Zahlen hinneigt, als z. B. bei 10-) '3"= 17,3 nach 18, tat- 

 sächlich dann auch diese eine unverhältnismäßig starke Frequenz 

 aufweisen, und zwar um so mehr, je geringer der Größenunter- 

 schied der Differenzen zwischen einem solchen genau berechneten 

 Wurzelwerte und den ihn einschließenden unserer empirischen 

 Maßzahlen ist, so meine ich, jeglichen Zweifel daran, daß unsere 

 Zwischenzahlen auch wirklich die Quadratwurzeln aus den Zahlen 

 der Fibonacci - Reihe zum Ausdrucke bringen, schon deshalb 

 als beseitigt betrachten zu dürfen. 



Offenbar aber dürfen wir ja auch nicht in dem Millimeter den ,, all- 

 gemeinen Maßstab" der Natur erblicken; und es will mir deshalb 

 angebracht erscheinen, da man im allgemeinen nur wird erwarten 

 können, daffdie Abscissenintervalle im Verhältnisse dieser Quadrat- 

 wurzeln stehen, unserem Gipfelgesetze folgende allgemeine Fassung 

 zu geben : Das Verhältnis der Maßzahlen zweier zusammengehöriger 

 Intervalle — durch Nebenzahlen können diese wieder in Unter- 

 etappen gegliedert werden — ist gleich dem Quotienten der Quadrat- 

 wurzeln aus zwei Fibonacci-Zahlen; oder anders ausgedrückt: 

 Das Verhältnis der zweiten Potenzen der Maßzahlen zweier zu- 

 sammengehöriger Intervalle ist gleich dem direkten Quotienten aus 

 zwei Fibonacci-Zahlen. 



Haben wir nun so gefunden, daß auch bei unseren phyllo- 

 metrischen Untersuchungen die Fibonacci-Zahlen eine Rolle 

 spielen, so sind wir offenbar auch berechtigt, für das Überwiegen 

 unserer Zwdschenzahlen dieselbe Erklärung heranzuziehen, wie sie 

 Ludwig, wie wir sahen, für die von ihm festgestellten Erschei- 

 nungen gegeben hatte. 



Man hat demnach also auch hier anzunehmen, daß eine 

 rhythmische Zweiteilung unserer Plasome statthat, daß aber eben- 

 falls die aus der Teilung hervorgehenden Teilstücke in Bezug auf 

 ihren Reifezustand nicht äquivalent sind, sondern sich wie Mutter 

 und Tochter zueinander verhalten, so daß die letzteren auch hier 

 wieder erst eine Periode des Heranreifens durchleben müssen, 

 bevor auch sie sich, von der nächsten Generation an, regelmäßig 

 an der Teilung mit beteiligen. Auch hier wieder kann nun die 

 Vermehrung dieser letzteren in Unteretappen vor sich gehen — 



