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GÉOMÉTRIE. — Sur les droites ijui satisfont à des conditions données. 

 Note de M. Halphen, présentée par j\I. Chasles. 



« Dans une récente Communication, j'ai montré que le problème de la 

 recherche du nombre des droites déterminées par des conditions composées 

 d'au moins deux groupes séparés, se réduit à deux cas : 



» 1° Les droites satisfont à une condition triple et à une simple; 



w 2° Les droites satisfont à deux condisions doubles; et j'ai donné le 

 théorème qui résout la première partie du problème. 



» Je me propose ici de démontrer le théorème suivant, qui résout le 

 second cas, et que j'ai déjà communiqué à l'Académie (i), mais avec une 

 démonstration relative à un cas de la question et très-différente de la dé- 

 monstration générale qui fait le sujet de cette Note : 



» ThéOKÈMe. — Le nombre des droites qui satisfont à deux doubles conditions 

 est égal au produit des ordres de ces conditions, augmenté du produit de leurs 

 classes. 



n Démonstration. — Soit O un point fixe dans un plan fixe P. Considérons 

 une droite quelconque D, et, dans le plan de cette droite et du point O, 

 la perpendiculaire menée en ce point à l'intersection des deux plans. Soit 

 Î2 le point de rencontre de cette perpendiculaire et de la droite D. Appli- 

 quons celte construction à toutes les droites D qui satisfont à une double 

 condition d'ordre (x et de classe v, le point O et le plan P restant fixes. Le 

 lieu des points ù est une surface S, dont le degré est |u, + av. 



)> En effet, il est clair, tout d'abord, que les droites D qui rencontrent la 

 perpendiculaire A élevée en O, au plan P, ont leurs points Q. sur cette 

 droite; et, comme, par chaque point, il en passe un nombre égala v, la 

 droite A est multiple d'ordre v de la surface S. En second lieu, si l'on mène 

 par A un plan quelconque, on voit que les droites D qui ont leurs points ii 

 dans ce plan, en dehors de A, sont celles qui rencontrent le rayon mené 

 de O, dans le plan P, perpendiculaiiement au plan considéré. Ces droites 

 forment une surface de degré u. -H v, dont l'intersection par ce plan est une 

 courbe de ce degré, ayant le point O pour point multiple d'ordre v. Donc 

 tout plan mené par A coupe la surface S suivant une ligne composée de de- 

 gré /x -t- av. Tel est le degré de cette surface. 



» On peut remarquer aussi que l'intersection de la surface S et du plan 

 P se compose : i" des /x droites D situées dans ce plan ; 2° des deux asymp- 



(i) Comptes rendus, t. LXVIII, p. 142; 1869. 



C. R., 1872, lef Semestre. (T. LXXIV, N» 1.) 6 



