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totes des cercles du plan P et de centre O, multiples d'ordre v. Il en est de 

 même des intersections de cette surface et de chacun des plans menés par A 

 et une de ces asymptotes : elles se composent chacune de p. droites D et de 

 deux droites multiples d'ordre v. 



» On peut remarquer également que le point O est multiple d'ordre 2v 

 sur la surface S, et que le lieu des tangentes en ce point se compose de v 

 cônes du second ordre, passant tous par la droite A et les deux asymptotes, 

 et chacun par une des v droites D qui passent en O.En sorte que, si l'on 

 considère deux telles surfaces jS, S,, la ligne d'intersection L qu'elles ont 

 en commun, outre la droite A et les deux asymptotes, a en O un point mul- 

 tiple d'ordre vv,. 



» Considérons effectivement une pareille surface S,, déterminée par la 

 même construction opérée sur les droites D, satisfaisant à une autre double 

 condition, d'ordre p., et de classe v,. La ligne d'intersection L est de 



degré d : 



^= [p. -t- 2y)(;j., + 2V,) — 3vv,. 



» A chaque point O de cette ligne L correspond un plan passant par la 

 droite Oii, dont la trace sur le plan P est perpendiculaire à cette droite 

 Où, et qui contient un couple de droites conjuguées (D, D, ). 



M II est clair que, parmi ces couples de droites conjuguées, se trouve cha- 

 cun de ceux de droites D, D, confondues, c'est-à-dire de droites satisfai- 

 sant à la fois aux deux doubles conditions données. Comme deux droites 

 conjuguées ont un point Q. commun, on aura le nombre des couples de 

 droites conjuguées confondues par celui des couples de droites dont les 

 traces sur le plan P sont confondues, diminué de celui des couples dont le 

 point û est dans ce plan. 



D Les droites D dont les points il sont sur la ligne L forment une sur- 

 face 2, qui a pour ligne multiple d'ordre [x, chacune des [j. droites D du 

 plan P. A chacune des vv, branches de la ligne L au point O correspond un 

 couple de droites D, D,, passant en ce point, et une nappe de la surface 1. 

 De plus, chacune des droites D, passant au ]ioint O, rencontre, en outre, 

 en p., autres points la surface S,, de degré |j,, -+- avv,, avec point nuiltiple 

 d'ordre 2v, en O. Donc, chacune des v droites D passant en O est multiple 

 d'ordre p., + v, sur 2i ; et le point O est multiple d'ordre v(p,, -t- v, ) de cette 

 surface. 



)) De même, les droites conjuguées D, forment une surface 2, , qui a pour 

 ligne multiple d'ordre jj. chacune des p., droites D, du plan P, et pour point 

 nuiltiple d'ordre v, [i). -t-v) le point O. 



