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» Nous avons vu plus haut qiie les droites D dont les traces sont sur un 

 rayon issu de O, dans le plan P, ont leurs points il sur une courbe de de- 

 gré p. -4- V, avec point multiple d'ordre v en O, et située dans le plan mené 

 en O perpendiculairement à ce rayon. De même les droites D, qui rencon- 

 trent le même rayon ont leurs points fi, sur une courbe du même plan, de 

 degré jx, -^-v,, avec point multiple d'ordre Vj en O. Par suite, les points Q. 

 des couples de droites conjuguées, dont les traces sont sur ce rayon, sont 

 les intersections de ces deux courbes, autres que le point O, et leur nombre 



n est 



n = {ix-hv){p., -+- V,) — vv,. 



» Si l'on ajoute à ce nombre l'ordre de multiplicité du point O sur la 

 surface 2, on a le degré de la ligne suivant laquelle le plan P coupe cette sur- 

 face, en outre des p. droites D de ce plan. De même pour la surface 1,. En 

 sorte que les degrés des deux lignes sont respectivement 



« + v(/j., -H V,) et n-hv,{ix-hv). 



» Soient x et j" les distances, à une origine prise sur un axe du plan P, 

 des projections, sur cet axe, des traces de deux droites conjuguées D et D, . 

 A chaque valeur de jc répondent les droites D de la surface 1 qui rencontrent 

 la perpendiculaire à l'axe à cette distance x de l'origine, les [j, droites du 

 pian étant exceptées. Leur nombre est tz 4- v (/x, -4- v, ). A chaque valeur de x 

 répond ce nombre de valeurs de j". De même, à chaque valeur de j" répon- 

 dent n ■+■ V, (fit. ■+■ v) valeurs de a:. Il y a donc 



2«-l-v(p., -I- v,) + v,(fa,-f- v) 



systèmes de valeurs x, y égales. 



» Parmi ces systèmes sont compris ceux qui correspondent aux couples 

 de droites conjuguées dont les traces sont sur la perpendiculaire à l'axe menée 

 par O, et dont le nombre est n. Parmi ces systèmes sont compris aussi ceux 

 qui correspondent aux couples dont les points fl sont dans le plan P. Ces 

 points ii sont les intersections du plan P et de la courbe L, autres que les 

 p.fx, points de croisement des jx droites D et des [x, droites D, de ce plan. 

 Leur nombre est donc d — fx[x,. Il reste donc 



n + V (/x, -H V, ) -t- V, (,a -t- v) — ^ 4- [x/x, =: /x/j., 4- vv, 



couples de droites conjuguées confondues; ce qui démontre le théorème an- 

 noncé. » 



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