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GÉOMÉTRlF. — Généralisations du théorème de Meusnier. 

 Note de M. A. Mannheim, présentée par M. Serret. 



« Le théorème de Meusnier se démontre de bien des manières. La 

 démonstration nouvelle de ce théorème, telle que je la donne dans mon 

 cours à l'École Polytechnique, m'ayant conduit aux généralisations dont 

 je vais parler, je crois utile de la reproduire. 



» Voici d'abord deux définitions : J'appelle axe de courbure d'une courbe 

 la droite d'intersection de deux plans normaux à cette courbe menée de 

 deux de ses points infiniment voisins; cette droite n'est autre que la per- 

 pendiculaire au plan osculaleur de la courbe et passant par le centre de 

 courbure de celle-ci ; 



» J'appelle axe de courbure d'une développable, la droite d'intersection 

 de deux plans normaux à cette surface, menés par deux de ses génératrices 

 infiniment voisines (i). 



» Appelons (S) une certaine surface et menons d'un point a de cette 

 surface la normale A. Soient a, un point infiniment voisin de a et A, la 

 normale menée de ce point à (S). Par la droite A, menons un plan per- 

 pendiculaire à l'élément «rt, et appelons a la trace de A, sur ce plan : a n'est 

 autre que le point de contact de ce plan avec l'élément de normalie (a) à 

 (S) déterminé par A et A,. 



» Considérons toutes les courbes tracées sur (S) qui contiennent les 

 points rt et rt,. En «, toutes ces courbes ont même plan normal. En a,, les 

 plans normaux à ces courbes sont différents, mais leurs traces sur le plan 

 normal commun passent évidemment toujours par «, puisqu'ils contiennent 

 tous la normale A,. Ces traces sont des axes de courbure; nous pouvons 

 donc dire : 



» Théorème L — Lorsque les courbes tracées sur une surface ont entre elles 

 un contact du premier ordre en un point a, les axes de courbure de ces courbes 

 qui correspondent à ce point passent par un même point a. 



» Si, en particulier, on considère la courbe déterminée par le plan nor- 

 mal à (S), et qui est tangent à toutes ces courbes, le centre de courbure 

 de la section ainsi obtenue n'est autre évidemment que le point de conver- 

 gence a des axes de courbure dont je viens de parler. 



(i) Comptes rendus, séance du i3 juin 1870. 



{■?.) J'appelle normalie à une surface (S), une surface dont les génératrices sont normales 

 à (S). 



