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» Nous voyons donc qu'il suffit de projeter le centre de courbure d'une 

 section normale à (S), sur une section oblique qui lui est tangente, pour avoir 

 le centre de courbure de celle-ci. 



» Pour arriver au théorème I, j'ai mené au point a un plan perpendi- 

 culaire à na,; menons maintenant un plan par la normale A, c'est-à-dire 

 normal à (S), et contenant la tangente conjugée de aa^ 



» En prenant des courbes sur (S) passant par les points a et a,, on aura 

 pour chacune de ces courbes en a, un plan analogue à celui-ci. Les traces 

 de tous ces plans sur le premier passeront par le point |3, trace de A, sur ce 

 premier plan. 



» Ces traces sont les axes de courbure des développables circonscrites 

 à (S) le long des courbes qui contiennent les points a et a, ; nous pouvons 

 donc dire : 



» Théorème II. — Lorsque des courbes tracées sur une surface ont entre 

 elles un contact du premier ordre en un point a, les développables circonscrites 

 te long de ces courbes ont pour axes de courbure correspondant à ce point des 

 droites passant par wi même point ]3. 



» Prenons sur (S) trois points infiniment voisins a, a,, a^, et appelons 

 toujours A, A,, Aj, les normales à (S) menées de ces points. 



» Toutes les courbes qui contiennent ces trois points auront mêmes 

 plans normaux aux points « et rt,. Au point a^ le plan normal sera diffé- 

 rent pour chacune de ces courbes, mais il contiendra toujours la nor- 

 male Aj. 



» L'enveloppe des plans normaux menés de tous les points d'une courbe 

 est la surface que Monge a appelée surface polaire. Considérons les surfaces 

 polaires de toutes nos courbes ainsi que les normalies à (S) dont ces 

 courbes sont directrices. Ces normalios ont trois génératrices communes A, 

 A,, Ao. Les surfaces polaires sont tangentes entre elles le long de l'axe de 

 courbure commun à toutes nos courbes. 



» Appelons a, la trace de Aj sur le plan normal commun en a, à toutes 

 nos courbes. Par le point a, passe toujours une génératrice de nos surfaces 

 polaires. Celles-ci sont donc circonscrites à la normalie le long de courbes 

 ayant en commun les deux points a et a,, et, en appliquant le théorème II 

 nous pouvons énoncer le théorème suivant : 



Théorème III. — Lorsque des courbes tracées sur une surface ont entre elles 

 un contact du deuxième ordre, les axes de courbure de leurs surfaces polaires 

 passent par um même point. 



» Opérons sur ce théorème comme nous l'avons fait pour le théorème I. 



