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 Celui-ci nous avait conduit au théorème de Meusnier ; le théorème III va 

 nous conduire à un nouveau et intéressant théorème. 



» Considérons toutes les sphères passant par les trois points infiniment 

 voisins rt, a,, a^ et leurs intersections avec (S). La surface polaire d'une de 

 ces courbes rencontre la sphère qui la détermine suivant la développée sphé- 

 rique de celte courbe correspondant au point a. T/axe de courbure de cette 

 surface polaire passe par le centre de la sphère et par le centre de courbure 

 sphérique de cette développée. Nous voyons donc que le théorème 111 nous 

 donne celui-ci : 



Théorème IV. — Lorsque, par le cercle osculateur en a d'une courbe tracée 

 sur une surface (S) on fait passer des sphères, celles-ci coupent (S) suivant des 

 courbes dont on obtient les centres de courbure de leurs développées sphériques en 

 projetant un point fixe /3 sur ces sphères. 



B Parmi toutes ces sphères, celle dont'le rayon est infini, se réduit au plan 

 osculateur de la courbe donnée sur (S). Si l'on élève à ce plan une per- 

 pendiculaire du centre de courbure de la développée de cette courbe, on a 

 une droite qui passe par le point /3. Ce point est du reste dans le plan nor- 

 mal à (S) tangent à la courbe donnée. Il est donc facile à construire. 



» Revenons au théorème III et généralisons-le, en considérant sur la sur- 

 face (S) non plus trois points a, a,, a^, mais (/^ -f- i) points infiniment 

 voisins. 



» Appelons deuxième surface polaire d'une courbe l'enveloppe des plans 

 normaux à la première surface polaire menés suivant les génératrices de 

 cette surface, troisième sur/ace polaire la surface polaire de celle-ci, et ainsi 

 de suite. 



» Prenons sur (S) les points infiniment voisins a, «,,..., a„. 



» Toutes les courbes passant par ces points auront pour premières sur- 

 faces polaires des surfaces qui toucheront les normalies dont ces courbes 

 sont les directrices suivant des courbes ayant m points communs, c'est-à- 

 dire un nombre égal au nombre des points communs aux courbes tracées 

 sur (S) diminué d'iuie unité. 



» En prenant les deuxième, troisième surfaces polaires, on diminuera 

 chaque fois d'une unité le nombre des points communs des courbes sui- 

 vant lesquelles ces surfaces sont circonscrites aux normalies que l'on est 

 conduit à considérer. 



» Les (« _ i)'""" surfaces polaires sont circonscrites à une normalie sui- 

 vant des courbes ayant deux points infiniment voisins comnuuis. 11 résulte 

 alors du théorème 11 le théorème général suivant : 



