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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques points du enlrul inverse des différences. 

 Note de M. Ed. Combescure, i)réseiitée par I*J. Serret. 



M La présente Note se réduit à quelques remarques très-simples qui n'ont 

 peut-être pas encore été faites, et qui peuvent présenter quelque intérêt. 

 Comme elles ont trait à des questions isolées, je les introduis dans des nu- 

 méros séparés. 



1) 1 . La connaissance des différentielles partielles du premier ordre d'une 

 fonction à n variables inilépendautes permet de déterminer cette fonction, 

 à une constante arbitraire près. Or, il est bien visible que les raisonnements 

 et les transformations employés peuvent se répéter pour le cas, où, au lieu 

 des différentielles, on se donne les différences finies partielles du premier 

 ordre. 



» Si l'on considère, en effet, une fonction quelconquey(j:,, a',,..., a,,), 

 et que l'on désigne par A,/, à^J,..., les accroissements partiels de cette 

 fonction répondant aux accroissements respectifs et séparés Aor,, Axo,..., 

 des variables indépendantes (ces derniers accroissements étant supposés 

 constants, comme on peut toujours l'admettre), il est clair que l'on aura 



A,AJ=A,A,/; 



et que, par conséquent, si l'on désigne par^,, /_,,..., y,',, des fonctions don- 

 nées, qui soient censées les différences finies partielles du premier ortire 



d'une même foncliony, on devra avoir les — conditions d inléfjrcdnlilé 



En les supposant remplies, la fonction inconnuey devra vérifier la relation 



qui entraîne 



V, étant une fonction arbitraire de x,, Xa,..., x„, mais périodique (pé- 

 riode Ax,) relativement à x, , quelles que soient les valeurs des autres va- 

 riables. 2, est le signe de l'intégration finie et définie, eu égard à la seule 

 variabilité dex,, de sorte que, si sr désigne une fonction particulière telle 

 que 



A,w=y,, 



il faudra écrire 



V /_._._ _(0) 



ro*"' étant généralement ce que devient une fonction zs lorsqu'on y rom- 



