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place .r, par la valeur initiale ar',"' : de même qne ts*""' désignerait ce que 

 devient la jonction par la substitution à jc^, x, de deux valeurs initiales 

 quelconques jr'°', j:'°' respectivement, elc. De l'expression ci-dessus de /on 

 tire 



A,/= 2, A,y, + A, V, = 2. A, y;. + A,V, ; 



d'où résulte 



La fonction Y, doit donc vérifier les conditions 



dont l'ensemble constitue un problème du même genre que le proposé, 

 sauf que le nombre des variables indépendantes est diminué d'une unité. 

 Donc, par l'application répétée des transformations ci-dessus, on arrivera 

 à la formule 



/ = 2, /; + 2,/H + 23^ r -H . . . + 2„/!r-> + o, 



2, se rapportant uniquement à la variable j:*,, et l'intégration étant toujours 

 définie. Quant à f, cette quantité représente une fonction arbitraire de 

 toutes les vari;ibles indépendantes, mais périodique séparément par rapport 

 à chacune d'elles, les périodes respectives et indépendantes étant Aj:,, 

 Aa:,, Il est presque superflu de faire observer que dans tout ce qui pré- 

 cède, x'^f.oc^f,----, auraient dû, pour la généralité du raisonnement, désigner 

 des fonctions arbitraires de la nature de 9 ; mais il n'y a auciui inconvé- 

 nient à leur attribuer des valeurs constantes quelconques, parce que deux 

 fonctions qui ont les mêmes différences partielles du premier ordre, ne 

 peuvent évidemment différer que par une fonction de la nature de ©. 



» Ou voit que la précédente formule subsiste, si un certain nombre de 

 différences Ax, deviennent iniit.inient petites, à la condition de supposer ç/ 

 indépendant des variables correspondantes. 



)) 2. A la question précédente on peut rattacher la suivante, que je me 

 borne, en ce moment, à indiquer : 



)) Étant données 7î fonctions cT,, s^o,..., 7â„ des variables indépendantes 

 .r,, JTo,..., J?,„ trouver les conditions pour qu'elles soient proportionnelles 

 aux différences partielles du premier ordre d'une même fonction. 



)) 3. Dans la Jhéovie annljtique des probabilités ^ Laplace ap|)lique, comme 

 ou le sait, la théorie des fonctions génératrices dont il a enrichi l'analyse, à 

 l'intégration des équations linéaires aux différences finies, et à coefficients 

 constants spécialement. L'illustre auteur ne fait pas mention, dans ce grand 



