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 oiivr;ie;p, dos fonctions périodiques, inlrodiiites antérieurement par Eulrr, 

 et destinées ;t conij)léier, aiitaut que |)ossible, les expressions intégrales. 

 Certains de ses résultats manquent, à ce point de vue, de généralité. Je 

 me bornerai à l'exemple suivant, qui a joué un certain rôle tlans les discus- 

 sions métaphysiques qui s'élevèrent, dans le temps, relativement à la dis- 

 continuité des fonctions. Il s'agit de l'équation qui figure à la page 80 de 

 l'ouvrage cité, savoir 



[n) (7,-H,,..' — ■JJ..,y + .''..-i,y) — ( r^.y+> — 2,rx,y + J,,-,y-i) = <>• 



En appliquante méthode qu'il a précédemment développée, Laplace trouve 

 pour l'intégrale complèle de cette équation 



( b ) j',,., ,,' = o [a.' -t- X' ) + ■! {.X- - .r' ) . 



Or il est très-facile d'avoir, sans la moindre incertitude, la forme la plus 

 générale qui puisse satisfaire à l'équation (a). Si l'on pose, en effet, 



X 



= ■/!, et rx,..'=JX"-..-o), 



on trouve, par la substitution immédiate, que l'équation proposée re- 

 vient à 



Aj Ay y =; o, 



les accroissements des variables indépendantes S et 73 étant respectivement 

 l'unité. 



» Cette équation s'intègre successivement par rapport à S et à r,^ et 

 l'on a 



o et i|* désignant des fonctions arbitraires (le S et de -/j ; la première étant 

 périodique par rapport à 73, quel que soit ^, et la seconde par rapport à i;, 

 quel que soit yj. Au reste, il est bien évident que, comme on peut faire entrer 

 dans (p, par exem|)le [équation {b)], les sinus et cosinus de inx, inx' ai-- 

 bitrairement, et par suite aussi 



/ X -^- x'\ I -r ■ — x'\ 



sin anx + sin 2nx' = 2 sui ( 2n — - — l cos ( 27: — - — u 



■27:' — jsin ( 27: — - — u 



on peut considérer celte fonction 'p comme une fonction arbitraire de ç, 

 sinaTT/j, cos 27173, et de nvéme ij; comme une fonction arbitraire de ■/3, sina7î2, 



