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» La normale B et la normale infiniment voisine qui s'appuie sur A' dé- 

 lerniineiit un élément de normalie a (H) tangent en d au plan (B, E) et 

 tangent en e au plan (B, D). 



)) Ces plans coupent respectivement C aux points d' et e' : les droites 

 dd' et ee' sont des génératrices de notre paraboloïde. Le plan (B, A') est 

 tangent en h à cette surface et, comme A', rencontre C : celte droite est 

 aussi sur le paraboloïde. 



» Les trois droites A', dd', ee', sont donc trois génératrices de notre pa- 

 raboloïde. En considérant C, nous ti-ouverons de la même manière trois 

 autres génératrices, et comme B et C sont aussi sur ce paraboloïde, nous 

 avons laiit droites appartenanl à un même paraboloïde. 



» Quatre de ces droites passent par les centres de courbure principaux 

 d, e, g, h et sont dans les plans des sections principales des nappes (B) 

 et (G); elles établissent, par leurs positions, la liaison géométrique clier- 

 chée. 



B Avant de faire voir l'usage que l'on peut faire de ces droites, je vais 

 démontrer que la droite A' est l'axe de courbure dune des lignes de courbure 

 ■ de (S) ('// a. 



» Considérons la ligne de courbure de (S) partant de a, et dont le pre- 

 mier élément est normal au plan (A, C). Prenons sur cette ligne de cour- 

 bure un point a,, infiniment voisin de a, et le plan normal en ce point à 

 cette courbe. Ce plan touche (B) en un point infiniment voisin de bel qui 

 est situé sur A. Nous avons donc deux plans normaux à notre ligne de 

 courbure, qui se conpent suivant l'axe de courbuie de cette courbe, qui 

 ne sont autres que deux plans tangents à (B) en deux points infiniment voi- 

 sins situés sur A. Ces deux plans tangents se coupent suivant A', tangente 

 conjuguée de A : donc A' est l'axe de courbure de notre ligne de courbnre. 



» Cherchons maintenant la solution d'un problème relatif à la courbure 

 des nappes (B) et (C) : 



On donne les axes de courbure A' et A" des deux lignes de courbure de (S), 

 (jui passent au point a, et les plcu)s des sections principales de (B) et de (C) : <ni 

 demande de construire les centres de courbure j)rincipaux de (B) et de (C). 



» A' et a" sont deux droites de notre paraboloïde, le plan directeur de 

 cette surface étant perpendiculaire à A, nous pouvons déterminer tout ce 

 qui est relatif à ce paraboloïde. Les points où les plans des sections princi- 

 pales touchent cette siuface sont les centres de courbure cherchés. Consti-ui- 

 sons ces points : appelons toujoin's d' le point de rencontre de C avec le 

 plan d'iuic des sections principales de (B). On mène do il' un ]>lan ])arallcle 



