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taneiente à toute courbe qui passe par lui. A ces courbes singulières cor- 

 respondent, clans une figure réciproque, des courbes douées des mêmes 

 propriétés. Un système de courbes tangentes à six courbes données con- 

 tient, en général, un nombre de ces courbes singulières. 



» Un système de courbes du troisième ordre et de la troisième classe 

 peut aussi renfermer d'autres courbes singulières : une courbe composée 

 d'une droite double et d'une droite simi)le, ou bien, si on la regarde 

 comme enveloppe de droites, d'un sommet double au point d'intersection 

 des deux droites et d'un sommet simple placé à un autre point de la droite 

 double; une courbe composée de trois droites passant par un même point 

 qui sera un sommet triple ; une droite triple douée de trois sommets. 



» Ce n'est qu'en disposant des positions des droites composantes et des 

 sommets qu'on peut assujettir ces trois dernières espèces de courbes singu- 

 lières à des conditions de contact avec des courbes données. Le nombre 

 des constantes disponibles n'étant dans ces cas que de cinq, on voit qu't/» 

 syslème assujetti à six conditions de contact ne contient, en général, aucune de ces 

 courbes sinc/ulières. 



» Toutefois, on ne doit pas dire qu'un système quclconcjue n'en contient 

 en général aucune. En effet, on aura encore à sa disposition la position du 

 point cuspidal, qui est un point de la droite double ou triple, ou celle de 

 la tangente d'inflexion, qui est une droite, par le sommet double ou 

 triple, etc. Mais on ne peut satisfaire, par ces dispositions, à des conditions 

 de contact. 



» Nous ne parlerons, dans ce qui suit, que de systèmes où il n'y a au- 

 cune de ces courbes ayant des branches (et sommets) multiples. Sans cette 

 restriction, il serait, en général, impossible d'exprimer le nombre des 

 courbes satisfaisant à une septième condition parles seules caractéristiques 

 {i et p.'. Les seules courbes singulières qui restent à nos systèmes sont donc 

 celles qui sont composées d'une conique et d'une de ses tangentes. Nous en 

 désignerons le nombre par a. 



» 3. Formules. — En cherchant, au moyen du principe de correspon- 

 dance, les nombres des courbes d'un système qui rencontrent une drcKte 

 en deux points coïncidents, ou auxquelles on peut mener d'un point quel- 

 deux sommets, et un nouveau point cuspidal compterait pour trois; mais dans le cas où seu- 

 lement un point qui est double pour toutes les courbes du système devient cuspidal, on n'y a 

 qu'un sommet simple. A un sommet correspond dans la figure réciproque une droite faisant 

 partie d'une courbe du système. 



