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 conque deux tangentes coïncidentes, on trouve les deux formules (*) : 



(i) 4:-'- = [-'-'+ 3t-, 4f-'= iJ- + 3c'. 



» On trouve de même, au moyen du principe de correspondance, 



c -t- (f;, + c) = 2/' H- c, 

 ou bien 



(2) 2 r — p. -t- c, 2 r' = ij.' -h c' , 

 et 



3c + p/= 37- + (7, 



ou bien, suivant les formules (i) et (a), 



(3) 27=p. + p/. 



» 4. Détermination des caractéristiques des systèmes élémentaires. — Les 

 formules précédentes, étant applicables à un système de courbes tangentes 

 à six courbes données, resteront en vigueur si ces courbes se réduisent à 

 des points et à des droites. Il ne sera pas difficile de déterminer au moyen 

 de la formule (3) les caractéristiques des systèmes qu'on obtient ainsi et 

 quon appelle les sjstèmes élémentaires (**). Je désigne par (a/>, /3/) le système 

 déterminé par a points et /3 tangentes donnés (« + ]3 = 6). 



» Sjstème (3p, 3Z) : On trouve ici sans difficulté 



G- = 3.2 -+- 3.4.2 -4- 3.3.2 -+- 3.3(4 + 4) + 3.4-2 + 3.3.2 4- 3.2 = 168, 



où nous avons distingué les différents groupes de courbes singulières (***). 

 On aurait dans une figure réciproque un système de courbes douées des 

 mêmes propriétés et satisfaisant aux mêmes conditions. On aura donc 



(*) Ces deux formules ne présentent pas un accord parfait avec celles qu'a données 

 M. Chasles dans sa Communicalion du 22 avril 186'j, où v et i correspondent à nos nota- 

 lions p.' et c' , Le coefficient 3, que nous avons substitué au coefficient a de M. Chasles, 

 résulte cependant, soit d'une recherche directe, soit d'une application de ces formules à des 

 cas où l'on sait déterminer par d'autres moyens toutes les quantités qui entrent dans les 

 formules. 



(**) Comparer la méthode dont je fais usage pour déterminer les caractéristiques de sys- 

 tèmes de coniques ou de quadriques (NoufcHes Annales, i8(i6 et 1868). 



(***) Quant au terme 3.3 (4 -H 4)> j*^ rappellerai que, dans un système de coniques (p, rx' ), 

 l'ordre du lieu des points de contact des tangentes menées d'un point fixe est p + p'. 



