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» 5. ^IjtpUcallons. — Il y a, suivant un théorème (*) de M. Ciiasles, 

 dans un sysièine de courbes n' [x + 7?p.' qui touchent une courbe de l'ordre a 

 et de la classe Ji' . On trouve, par une application successive de ce théorème 

 aux systèmes élémentaires et aux nouveaux systèmes, dont on détermine 

 ainsi les caractéristiques (méthode de substitution de M. Chasles), l'expres- 

 sion suivante du nombre N des cubiques à point cuspidal qui touchent sept 

 courbes données (des ordres //,, }t.,, . . . , //, et des classes //j, li.^, . . . , //-), 



N = 24(2, H- 2„) H- 6o(-5+ 2,) + I i/,(2,-f- 2,) + i68 (2,+ 2,). 



où 2, représente la somme //, /Zo ...//, n,'+, ...»',+,.. ., des produits des 

 ordres de i courbes données et des classes des autres. 



» Dans la recherche des caractéristiques de systèmes de cubiques douées 

 d'un point double, on aura besoin de connaître les nombres des cubiques 

 ayant un point cuspidal à un point donné [condition que nous désignerons 

 ici par(c^)] et satisfaisant du reste à des conditions élémentaires. On trouve 

 ces valeurs au moyen de la formule suivante : 



N[(a + 2)/;, pi] = N[a/',fi/, {pi)] + 3N[«/;, .5/, [cp)]. 



On trouve ainsi 



^[rxp, [■il{cp)] = 2, 8, 20, 38, 44, 32, 



a étant 5, 4, 3, 2, i, o respectivement, et p = 5 — a. » 



M. Chasles, en présentant ce travail de M. Zeuthen, ajoute les remarques 

 suivantes : 



« RI. Zeullien, professeur de l'Université de Copenhague, s'est fait 

 connaître de l'Académie notamment par un excellent Mémoire intitulé : 

 Nouvelle Méthode pour déterminer les caractéristiques des systèmes de coniques 

 (voir Comptes rotdus, t. LXII, 1 866, p. l'j'j, et t. LXIV, p. 262). Cette 

 méthode repose sur la détermination de Vordre de multiplicité des coniques 

 exceptionnelles, ou quasi-coniques, qui existent dans presque tous les systèmes 

 de coniques satisfaisant à quatre conditions données, et dont il faut tenir 

 compte : recherches souvent très-épineuses, surtout dans les questions de 



(*) Comptes rendus, i5 février i864, clans une Noie, Le théorème ne cesse pas d'éUe 

 vrai si la courbe donnée et toutes les courbes du sysiènie ont des points doubles ou cus- 

 pidaux. 



C. R., 1872, i" Semestre. (T. LXXIV, IN» 0.) 6() 



