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GÉOMÉTRIE. — Exposition sommaire d'une théorie géométrique de la courbwe 

 des surfaces. Note de M. A. Man.nheim, présentée par M. Serret. 



« Cette exposition a pour base le théorème suivant, que j'ai démontré 

 dans mon Mémoire intitulé : Etude sur le déplacement d' une figure de forme 

 invariable (i). 



Th. I. — Lorsqu'une figure de forme invariable se déplace en restant assu- 

 jettie à quatre conditions^ à un instant quelconque, les normales issues de tous les 

 points de cette figure aux surfaces trajectoires de ces points rencontrent deux 

 mêmes droites. Ces tleux droites sont deux axes simultanés de rotation pour tous 

 les déplacements que l'on peut faire subir à la figure mobile. 



» Ce théorème et le théorème suivant, qui en est une conséquence, sont 

 les seuls emprunts que je ferai au Mémoire dont je viens de parler. 



» Th. II. — Si, à partir d'un point a sur une surface [A) on trace des courbes 

 quelconques, les normalies à cette surface, qui ont ces cornées pour directrices, 

 sont tangentes entre elles en deux points b et c situés sur la normale A menée 

 de a à (A). Les plans tangents communs à ces normalies sont rectangulaires. 



» La considération des normaUes à (A), dont les directrices tracées 

 sur (A) sont tangentes entre elles au point a, conduit très-facilement au 

 théorème de Meusnier, comme je l'ai montré dans la Communication que 

 j'ai eu l'honneiu' de faire à l'Académie dans la séance du 5 février 1872. 

 Cette démonstration du théorème de Meusnier donne en même temps le 

 théorème suivant : 



» Th. III. — Le plan tangent en a, à une normalîe à (A) dont la directrice 

 est une courbe tracée sur (A ) à partir de a, est normal à cette normalie au centre 

 de courbure de la section que ce plan détermine dans (A). 



» Le théorème de Meusnier ramène la construction du centre de 

 courbure d'une section oblique à la recherche du centre de courbure de 

 la section normale qui lui est tangente, et le théorème ÎII montre que 

 la construction de ce point est donnée par la solution du problème 

 suivant : 



» On donne une normalie à (A) dont la directrice tracée à partir d'un 

 point a sur cette surface a pour tangente at. On demande de construire le point 

 oii te plan normal à (A), mené par at, est normal à cette normalie. 



» Appelons (T) le plan tangent en a à (A), et traçons sur ce plan, à 



(i) Mémoires dus Savants étrangers, t. XX, et Journal de l'École Polytechnique, 

 XLIIP cahier. 



