( 599) 

 partir du point a, an perpendiculairement à at', an est normal à notre nor- 

 malie au point a. Menons aux points h et c, dont j'ni parlé plus haut, 

 les normales B et C à notre normalie. Nous avons, aux points a, b, c de 

 la génératrice A de notre normalie, les normales à cette surface. Ces trois 

 droites déterminent le paraboloide formé par les normales à la normalie, 

 qui sont issues de tous les points de A. Pour résoudre le problème, il suffit 

 de chercher la normale qui est dans le plan kat. Pour cela, du point 

 quelconque n de an, je mène la droite G qui rencontre B et C. Cette droite 

 est une génératrice du paraboloide des normales; elle est rencontrée par 

 toutes les normales à la normalie issue des points de A. 



M La trace de G sur le plan kat appartient à la normale qui est dans ce 

 plan. La perpendiculaire abaissée de ce point sur A est cette normale; le 

 pied a de cette perpendiculaire sur A est le point où le plan kat est normal 

 à la normalie. Autrement on peut dire que la projection sur le plan kan de 

 la droite G rencontre A au point a. Il résulte de ce qui précède que a est 

 le centre de courbure de la section normale à (A) faite par le plan kat; 

 aa est le rayon de courbure de cette section normale. 



» Cherchons la relation qui existe entre les rajons de courbure des sections 

 normales à (A) au point a. 



» Remarquons d'abord que toutes les normalies dont les directrices sont 

 tracées à partir de a sur (A) ont pour normales communes B et C. La con- 

 struction précédente s'applique donc toujours en faisant usage des mêmes 

 droites B et C. Modifions cette construction : faisons tourner la figure que 

 nous avons considérée autour de la normale A d'un angle de 90 degrés; 

 an vient se confondre avec at, B vient en B, , C en C, et G vient en G,, qui 

 est maintenant une droite issue d'vui point quelconque t de at, et qui 

 rencontre B, et G,. Nous voyons maintenant que : 



» Th. IV. — La projection de G, sur le plan normal kat rencontre A au 

 centre de cou/bure a. de la section faite dans (A) par ce plan. 



» Menons au point t une droite perpendiculaire à G, et rencontrant A. 

 Appelons ce point de rencontre. Considérons l'angle droit {ot,G,), et 

 supposons que, le point t restant toujours sur le plan (T), le côté de l'angle 

 droit ot passe toujours par le point o, tandis que l'autre côté G, s'appuie 

 toujours sur B, et C, . Le point t décrit sur le plan (T) une certaine courbe I. 

 Quelle que soit la position du point t sur cette courbe, le centre de cour- 

 bure a de la section faite dans (A) par le plan normal J^at s'obtiendra, 

 comme nous l'avons vu, en projetant G, sur ce plan. Cette projection n'est 

 autre que la droite ta tracée sur ce plan à partir du point t perpendicu- 



