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 que soit la position de t sur I, puisque B, et C, sont [larallèles au plan fT), 

 Eu projetant G, sur le plan (T), cette proportionualilé se conservera. On 

 voit ainsi que la projection de G, sur (T) est rencontrée par les axes de 

 l'indicatrice I en deux points qui déterminent avec t des segments propor- 

 tionnels aux carrés des demi axes de cette indicatrice. Donc : 



» Th. IX. — La projection tk'G, sur [T) est la normale en t àl. 



» Mais la projection de G, sur (T) est perpendiculaire à la |)rojeclion 

 de G sur le même plan ; donc : 



» Tll, X. — G se projette sur le plan l(in(jenl [T) suivant une droite paral- 

 lèle à la tangente en I à l indieatriee, e est-à-dire une droite conjuguée de la di- 

 rection at. 



)) Par une première projection de G nous avons obtenu le centre de cour- 

 bure de la section normale menée par ni. Nous voyoîis maintenant qu'en 

 projetant la même droite G sur le plan(T) nous avons la direction con- 

 juguée de at. Les droites B e( C qui suffisent pour ces constructions peuvent donc 

 être substituées à l'indicatrice de M. Dupin. 



» Revenons au paraboloïde des normales à la normalie à (S) que nous 

 avons déjà considérée. L'un des plans directeurs de ce paraboloïde est le 

 plan central de cette normalie. La trace de ce plan central sur (T) est donc 

 parallèle à la projection de G sur le même plan. 



» D'après cela et d'après le théorème X, nous concluons que : 



» Th. XI. — La tangente at à la directrice d'une normalie à (S) et la trace 

 du plan central de celle normalie, pour la génératrice A, sur le plan tangent en a 

 à (S), sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice en a. 



)) Prenons sur (S) un point a,, infiniment voisin de a dans la direction nf, 

 et menons en ce point à (S) la normale A,. Les plans tangents en a et a, à 

 (S) se coupent suivant une droite parallèle à la perpendicidaire commune 

 à A et A,. Cette perpendiculaire est dans le plan central mené par A à l'é- 

 lément de normalie fornié par A et A, ; elle est parallèle à la trace de ce 

 plan central sur le plan tangent eu n à (S). Ainsi les jihuis tangents aux deux 

 i)oints infiniment voisins a et a, se coupent suivant une droite j)arallèle à celte 

 trace., c'est-à-dire, d'après le théorème précédent, conjuguée de la direction 

 aa,. Nous retrouvons ainsi le théorènw des tangentes conjuguées. 



)) Je ferai remarquer, en terminant, qu'indépendamment de l'exposition 

 nouvelle que je viens de donner sommairement de la théorie de la cour- 

 bure des siu'faces, les théorèmes IV et X sont nouveaux et méritent d'être 

 I) 



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