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GÉOMÉTRIE. — A'ofe suv quelques relations entre les quantités angulaires des 

 polyèdres convexes; par M. L. Lalanxe. (Extrait d'une Lettre adressée à 

 M. Chasles.) 



« Il y a dèyA une douzaine d'années que l'érudit et regretté Prouhet attira 

 l'attention de l'Acadéinie, à propos de la publication récente des OEuvres 

 inédites de Descartes, par M. Foucher de Careil , sur une proposition 

 énoncée sans démonstration par le grand philosophe, proposition qui établit 

 une analogie, non remarquée jusque alors, entre la théorie des polygones et 

 celle des polyèdres. Cette proposition consiste en ce que, dans un polyèdre 

 convexe, la somme des suppléments des angles solides est égale à huit angles 

 solides droits. Elle résulte de l'intuition même des angles solides supplé- 

 mentaires, lorsqu'on leur donne un sommet commun pris dans l'intérieur 

 du polyèdre. De la considération de ces mêmes angles solides supplémen- 

 taires, Prouhet conclut aussi très-simplement que la somme des angles 

 plans des faces d'un polyèdre est égale au quadruple, diminué de huit, du 

 nombre des sommets, l'angle droit étant pris pour unité. 



» Cette Communication ne passa pas inaperçue, et M. J. Bertrand, mem- 

 bre de l'Académie, en fit l'objet d'un rapprochement imprévu entre la pro- 

 position de Descartes et la belle conception de Gauss, relative à la courbure 

 totale des surfaces {Comptes rendus, t. LX, p. 781). 



» Ces antécédents permettent de croire que l'Académie n'accueillera pas 

 sans intérêt des considérations qui, tout élémentaires qu'elles soient, sont 

 de nature à étendre les analogies connues entre la théorie des polygones et 

 celle des polyèdres, analogies que je formule en trois propositions nou- 

 velles. 



» Avant d'énoncer ces propositions, dans lesquelles entrent à la fois des 

 trièdres et des dièdres, je dirai que je prends, suivant l'usage, le Irièdre tri- 

 rectangle qui occupe la huitième partie de l'espace autour d'un point, pour 

 unité parmi les trièdres; et que, pour les dièdres, je prends pour unité non 

 pas le dièdre rectangle, comme on le fait ordinairement, mais seulement la 

 moitié de celui-ci; de sorte que, les trièdres et les dièdres étant rapportés 

 respectivement à des unités de même espèce, il y a, par le fait, une unité 

 commune pour tous, le trièdre trirectangle. 



» Cela posé : 



» 1° Dans toutpol/èdre convexe, l'excès de la sonitne des dièdres sur la somme 

 des angles solides est égal à l'excès du quadruple du nombre des faces sur 8; ou, 



