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GÉOMÉTRIE. — Détermination des caractéristiques des s)'stèmes élémentaires 

 de cubiques. Note de M. Zeuthen, présentée par M. Cliasles. 



CUBIQUES DOUtES d'uN POINT IIOUBLE. 



« 1. Notations. — Une cubique à point double est de la classe 4 et a 

 liois tangentes d'inflexion. Les cubiques de cette espèce qui satisfont à sept 

 autres conditions forment un système [u., u.'). Désignons par b Tordre du 

 lieu des points doubles, par v la classe de l'enveloppe des tangentes à ces 

 points, par c' la classe de l'enveloppe des tangentes d'inflexion, et par /' 

 l'ordre du lieu des points d'infleNion. 



)) 2. Courbes singulières. — i" Le point double peut devenir cuspidal. 

 La courbe singulière qu'on obtient alors aura un sommet au point cuspidal. 



» 1° Une courbe du système peut se réduire à une conique et une droite. 

 Reg.irdée comme enveloppe de tangentes, elle sera composée de la coniqiu^ 

 et de l'un des points d'intersection pris deux fois. Ce point sera un sommet 

 double, pendant que l'autre point d'intersection n'est que le point doul)lc 

 de cette courbe particulière du système. La cubique composée peut satis- 

 faire à la condition de toucher une courbe donnée en ayant un de ses deux 

 points singuliers siu' elle : alors il n'est j^as douteux que ce point soit le 

 sommet double, l'autre le point double. En d'autres cas, elle peut satisfaire 

 aux conditions données, quel que soit celui des deux points singuliers qu'on 

 regarde comme sommet. Alors on aura deux coiu-bes singulières : regar- 

 dées comme lieux de points, elles coïncident; mais, regardées comme enve- 

 loppes, elles sont différentes. 



» Un système contient, en général, des courbes singulières de ces deux 

 espèces; car elles dépendent de sept conditions. Nous en désignerons les 

 nombres par y et par ût respectivement. 



)) Les singularités suivantes : une courbe composée d'une droite double 

 et d'une droite simple, ayant un sommet double au point d'intersection des 

 deux droites et deux sommets simples à deux autres points de la droite 

 double, et une droite triple douée de quatre sommets, ne peuvent satisfaire 

 qu'à six conditions de contact indépendantes entre elles. On n'en trouve 

 donc pas ordinairement dans un système déterminé par scj)! conditions de 

 contact. 



» Nous ne nous occuperons, dans ce qui suit, (jue de s\ sternes dont les 

 seules singularités sont celles dont nous avons désigné les nombres par y 

 et TS. 



