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» 3. Fo)inulcs. — On Iroiivi-, au inoyc ii du principe de coiTespoiidauce, 



(i) 4/1 = //'+ 2/', 



(■2) Ou: = ij.-i-zô -{-'jc', 



(3) (. = ^> + /i, 



(4) (' -r- C'= a.'+ 3//, 



(5) .^^2,,,_3,A^ 



l'où 



(G) '1 = 113. ou /i = i7» 



( 7 ) 2 777 = 3 y.' — 3 a ou /i' = -i^ ( ?. — + 7 ) . 



» 4. Délenninatiun des caraclérislujucs des systèmes éléinenlaires. — Les 

 déterminations de 7 et de 77: sont des problèmes plus simples que ceux de p. 

 et de a'. On peut donc se servir des formides (6) et (7) pour trouver ij. et u.'. 



» 7 et zû sont des nombres théoriques où ime seule courbe singidière 

 peut être comptée plusieurs fois. Dans les systèmes déterminés par les con- 

 ditions de toucher sept courbes données, *qui peuvent se réduire à des 

 points et à des droites, une cubique à point cuspidal n'est comptée qu'î/;.'e 

 seule fois dans le nombre 7. Une cubique composée d'une conique et d'une 

 droite sera, dans les mêmes systèmes, comptée 2' fois, si le sommet double 

 se trouve sur u des courbes données, et si le contact avec ces v. courbes 

 est dû à cette circonstance (*). On aura donc, en désignant par tjTq, î?,, zô.. 

 les nombres respectifs des cubiques composées pour lesquelles a ^ o, 1,2, 



^ = '^o + 2^1 + h'^i- 



» Regardons, pour prendre un exemple, le système (3/j, /(/). On y aura 



Y = ' 68 + /) . 1 68 -1- --'— 20 = 960, 



où les trois termes correspondent aux cas où le point cuspidal se trouve 

 sur 0,1 ou 2 des tangentes données ('"). On trouve encore 



73-0=2.3.2, zrr, = 4 . 3.4 .2 + 4-3./|, 772 = — 3.4, 



(* ) La même règle a lieu pour les conirjncs d'un systènie qui ont un sommet double (point 

 double). Comparer les ])arlies II et III de mon Mémoire sur les systèmes de coniques [Nou- 

 velles Annales de Mathcniiitiqtus, 1866). Suivant une remarque que nous avons déjà failc, 

 les cTo cubiques singulières, regardées comme lieux do jioints, coïncident deux à deux. 



**) ?o;> ma Communication précédente [Comptes rendus, p. GaS). On a dans le système 



