( 7o8) 

 petits orages de Biarritz avec les grandes conininlions dos aurores bo- 

 réales, nous ne pouvons voir dans ces rapprochenienis que le désir de 

 chercher des rapports que rien encore ne justifie. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur les courbes aplaties. Note de M. A. Cayley, 

 présentée par M. Chasles. 



« En lisant la thèse de M. S. Maillard, Recherches des caracléristiques des 

 sjslènies élémentaù-es des courbes planes du troisième ordre (Paris, 1871), j'ai 

 été conduit à quelques réflexions sur la théorie générale des courbes apla- 

 ties de M. Chasles ('). 



» Je considère une courbe représentée par une équation de l'ordre ?i, 

 f{x, 7", A) = o, laquelle pour A = o se réduit à la forme P"QP... = o. Pour^- 

 un infiniment petit, ou disons pour X' == o', cette courbe sera ce que je 

 nomme la pémdtième de P^Qf ... ^ o; la courbe P^Ql^... = o elle-même 

 sera la courbe finale ; et les courbes P = o, Q = o, . . . , les facteurs. Or en 

 menant par un point donné quelconque les tangentes à la coiube pénul- 

 tième, ces tangentes approchent continuellement aux droites que voici : 

 1° les tangentes aux courbes P = o, Q = o,..., respectivement; 2" les 

 droites par les points singuliers de ces mêmes courbes respectivement ; 

 3° les droites par les intersections de deux quelconques de ces mêmes 

 courbes P = o, Q = o,..., respectivement; 4" les droites par certains 

 points situés sur l'une quelconque des mêmes courbes P := o, Q = o. . . . 

 En ne faisant aucune supposition particulière par rapport à la courbe 

 pénultième, cette courbe sera une courbe sans points singuliers, et 

 ainsi de la classe jr — « : le nombre des droites i", a", 3", 4" (en faisant 

 attention à la multiplicité de quelques-unes de ces droites) sera donc 

 égal à 71- — n. Les droites 3*^ sont comptées chacune un certain nom- 

 bre de fois ; en supposant que pour lui point d'intersection P =: o, 

 Q = o quelconque ce nombre soit Ô, nous dirons qu'il y a à ce point un 

 nombre de sommets fixes. Les droites 4° sont comptées en général cha- 

 cune une seule fois ; les points par lesquels passent ces droites (j)oinls sur 

 l'une quelconque des courbes P = o, Q = o, ...) seront nonunés sommets 

 libres. Cela étant, on peut considérer la courbe pénultième comme équiva- 

 lente à la courbe finale P*Qf . . . = o phis les sommets : il s'agit, pour un 



(*) Comptes rendus, t. LXIV, p. 799-805 et 1079-1081; séances des 22 ;ivrii et 

 27 mai 1867. 



