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 nous avons ainsi, sur la droite x = o, deux points indépendants de la position 

 du point donné (a, (î, '/), et qui ne sont plus les intersections de la conique 

 par celte droite (autrement dit, ces points ne sont pas situés sur la conique); 

 ces points sont en effet deux points quelconques sur cotte droite. Il y a 

 ainsi pour la conique aplatie pénultième de x' = o deux sommets situés à 

 volonté sur la droite a.' = o (et qui ainsi ne sont pas situés sur la conique 

 pénultième). 



» Je passe à un cas nouveau, celui de la courbe quartique pénultième 

 de jc-j- = o ; mais pour simplifier l'analyse, au lieu d'un point quelconque 

 (a, 1*5, 7) je prends successivement les points (7-=o, z = o) et (a; = o, 

 7" = o). On conçoit, en effet, que s'il y a /; sommets libres sur la droite 

 X = o, ç sommets libres sur la droite y = o, et r sommets fixes au point 

 ( j? = o, j- = o), alors les droites par le point donné (^ ^ o, z = o) seront 

 les droites par les /j points, /j/ks la droite j>- ^ o, ç -H /'fois; et de même les 

 droites par le point donné [jc ^ o, z = o) seront les droites par les q points, 

 plus la droite o: = o, /j + /fois : de manière que le procédé donnera les 

 nombres chercbés p, q, r. 



» J'écris l'équation de la pénultième sous les deux formes 



+ f,x^{h,j){j,z) +4r(A,/)(x,z) 



+ Gx-[ï, p, m) [j, r)- + <3jr'(i, 7, /) [jc, zf 



+ /|x(A-, f/, /', ^) (j, z-Y + hj{l^,p, r, l) [x, z-Y 



■+■ {b,f-, /, ', c) (j, z)' = 0, + [(i,j, m, à', c) (x, zY = o, 



où le coefficient de x")''' est =: G, et tous les autres coefficients sont des 

 infiniments petits, pas nécessairement <lu même ordre. Je représente ces 

 deux équations par 



(A, B,j)-^ + C, D,E)(x, i)'==o, (A',B', X- + G', D', E')(^)-, 1)^ = 



respectivement. 



» Cela étant, on obtient l'équation des tangentes par le point {j = o, z = 0) 

 en égalant à zéro le discriminant de la fonction quarticpie de x ; et de même 

 pour les tangentes par le point (x r= o, z = o) : les deux équations seront 



o = (j= + C)*.8iAE o--=(x= + C')*.8jA'E' 



+ (;-= + C)'(- 54 AD^ - 541]^E) +,... 



+ (j" + CY (- 18 A =E"- 1 80ABDE -(- 3GB=D- 

 + 



