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 En prenant pour le moment tous les coefficients = o', chaque équation 

 contiendra un seul terme de l'ordre le plus bas o*, et en négligeant les 

 autres termes, les équations deviendront simplement 



j'.AE = o, .r'.A'E'^o; 



il y a ainsi sur la droite x = o quatre sommets libres donnés par l'équa- 

 tion E = o; et de même sur la droite j- = o, quatre sommets libres donnés 

 par l'équation E' = o ; donc quatre sommets fixes au point jc — o, y = o. 

 Ees sommets libres sur les droites x ^ o et y =: o sont les interseetiom de la 

 fjunrtiqtte par ces deux droites respeclivevient . 



» Mais, au contraire, prenons b, J\ l, /, c = o-, les autres coefficients 

 élant = o'. On a d'abord A, B, D = o', E = o^; la première équation se 

 réduit à 



27Aj«(3Ej-- 2D=') = o, 



ce qui donne, sur la droite x = o, six sommets libres déterminés par l'équa- 

 tion 3E;>- — 2D-=: o. 



M On a depuis A'= o-, B', D', E' = o' ; la seconde équation est donc 



27E'x''(3A'a?--2B'-) = o; 

 mais ici 



E' = (rt,7, 7?i, (/, c) [x, z)'', = x[ax^ + ^jx'^z + &mxz- -f- 4s'z''), 



à cause de c = o^ ; et, de plus, 



3A'jc=- o.V>'- = ?,bx-- 2{kx+fz)\ = [Zb- o.P)x-, 



A cause dey = o-; donc l'équation se réduit à 



x^[nx^ + [\jx- z + 6mxzr 4- l\gz^) = o, 



et il y a sur la droite f = o, trois ronimets libres déterminés par l'équation 



ax'^ 4- [\jx-z + Qmxz" + 4gz' = o. 



» Remarquons que la droite/ = o rencontre la quartique dans les quatre 

 points donnés par l'équation E'=.o, c'est-à-dire un point infiniment près 

 de {x = o, j ^ o) et trois autres points, lesquels sont précisément les trois 

 sommets libres sur la droite j>- = o. Il y a de plus trois sommets fixes au 

 point (x = o, j- = o). 



» Conclusion. — Il y a ainsi une courbe quartique pénultième de x-j- = o, 

 avec neuf sommets libres, trois sur l'une des deux droites (disons la droite 

 ;k = o) et qui sont trois des intersections de la quartique par celte même 



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