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» Nous désignerons par vj^^ le nombre de cubiques à branche double 

 d'un système dont la droite double est tangente à ^ courbes données, 

 dont le sommet se trouve sur yj, et dont les contacts avec ces | + vj courbes 

 sont dus à ces circonstances, et nous poserons 



22^+-1Vç^ = V„o-f- 2(Voi +y,„) + 4(Vo2 + Vh +V2o) + 8(v,2 4-Vo,) = V. 



» Nous désignerons par >,ç le nombre des droites triples du système qui 

 sont tangentes à ^ des courbes données (et dont S, contacts sont dus à cette 

 circonstance), et nous poserons 



23^>,s = X„ + 3)., + 9>.2=^X. 



» Les nombres « théoriques » des courbes singulières du système seront ct 

 et des multiples de v et de X. 



» 3. Formules. — Le principe de correspondance donne (*) 



(1) /i/J-=,'^.' + Av + BX, 



(2) io^a'= u. 4- sj + Cv -f- 3c', 



(3) p.'-t- 5^j.= c' + Dv + 6E)., 



où A, B, C, D, E sont des coefficients entiers et positifs. On en déduit 



(4) 12/x = ?^ + Fv -I- GX, ■ 



où 



F = 7A + C-3D, G = 7B-i8E. 



» Il sera possible de trouver les valeurs des coefficients A, B, F et G en 

 appliquant les formules (i) et (4) aux systèmes élémentaires. 



» 4. Caractéristiques des systèmes élémentaires. — 11 n'y aura dans le sys- 

 tème {ap, |3Z), où a -t-/3 = 8, ni des cubiques à branche double, ni des 

 droites triples tant que a>4- On sait que N(9/j) = i. Par conséquent, la 

 formule (i) donne (**) 



N[a/J, (9 — a)Z] = 4°~" pour « = 9,8,7,6,5. 



(*) On trouve l;i formule (3) en cherchant le nonihre des tangentes qui passent par un 

 point donné et qui rencontrent la courbe en trois points coïncidents (Comparer la formule (4) 

 de ma précédente communication). 



(**) Ces résultats sont renfermés dans un théorème de M. Bischoff, auquel son auteur, 

 ainsi que M. de Jonquicrcs, avait donné d'abord un énoncé beaucoup trop large, mais que 

 ce dernier savant a corrigé plus tard en y ajoutant l'indication des limites nécessaires. M. de 

 Jonquières a donné après au même théorème des extensions considérables (Voir le Journal 

 de Crelle-Borchardtf t. 66). 



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