( 799 ) 

 on aura, pour le changement des variables indépendantes, 



X = «X'+a'Y'+a"Z", Y = (îX'-\- f^'Y'-h fi"Z", Z=:yX'-hYY'+ fZ", 

 en prenant 



rlV ./V ^V 



D'après cela, et en faisant 



F(aX'+a'Y'+a"Z', ,SX' + fi' Y'+/5"Z', '/X'+7'Y'+7"Z') = F'(X',Y', Z'), 



il est facile de voir qu'on obtiendra l'ensemble des termes de l'ordre le plus 

 élevé, dans l'équation aux différences transformée, en remettant pour X', 



\r, r,, , ^, , . . 'IV dW dV , . , 



Y , z, dans F, les quantités -—î j-^j ^> et changeant ensuite les expo- 

 sants en indices de différenliation. D;ins le cas où F est le produit de 

 deux facteurs rationnels, il en sera de même pour F', et réciproque- 

 ment. 



» 2. Lorsqu'on se propose, avec Legendre, de satisfaire à une équation 

 linéaire [que je désignerai simplement par son groupe («)] au moyen d'une 

 expression qui renferme linéairement une fonction arbitraire et ses dérivées 

 partielles jusqu'à un ordre déterminé, cette fonction portant d'ailleurs sur 

 d'autres fonctions déterminées dont le nombre est inférieur d'une unité à 

 celui des variables indépendantes, on peut, quelles que soient ces fonctions 

 déterminées, les prendre pour deux des nouvelles variables j' et z', et leur 

 adjoindre une troisième variable indépendante r', choisie comme on l'en- 

 tendra. Or il est Irès-aisé de voir que l'équation aux différences transformée 

 ne peut être satisfaite par une expression de la forme supposée qu'autant 

 que, dans l'ordre le plus élevé, les coefficients des dérivées dans lesquelles 

 ne figure pas fix' sont identiquement nuls. Mais alors F' est le produit du 

 facteur X' et d'un autre de degré m — \. Par conséquent, F est le produit 

 d'un facteur linéaire et d'un autre de degré m— i. 



» Si l'on s'imposait la condition de l'existence simultanée de deux inté- 

 grales de l'espèce indiquée et contenant, chacune, une fonction arbitraire, 

 F devrait renfermer deux facteurs linéaires, et ainsi de suite. 



» 3. Considérons spécialement les équations du second ordre 



, d^-\ ^,d'\- ,„d'y ,. d'\ T,, d'\ T,„ d'Y 



A-^ -*- A'-— + A"-— + 2li;^— T- + ïB';^— T- H- 2R"— — 



d.v' dy «2 dydz dxdz d.rdy 



+ C^-^C'f + C"^ + HV=o, 



dx dy dz 



