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 de sorte que 



F(X, Y,Z) = AX- + A' Y- 4- A"Z- + aliYZ + ali'XZ + 2B"XY. 



En faisant abstraction, pour nu uiouieut, de la question d'intégration, on 

 peut, en s'appuyaut sur ce qui a été dit au 11° 1, la réduire à une forme 

 beaucoup plus sim[)le, dans le cas où 



F(\,Y, Z) = ,nX + /A^ + />Z)(MX + ]NY + PZ). 

 On a, en effet, 



F'(X',Y', Z' ) = {m'X' + n'\'+ p'Z') (M'V 4- WY' + 1>'Z'), 

 en posant 



m' =z iny -h ?ift + py, n' = inu! + nfj -y p-/ , // = my' -}- 7/]3" + p-/\ 

 M' = Ma + Ni'i + P7, N' = Mi(' + Nf;' + P'/, F = M5;"+ N/S"+ P7"; 

 et si l'on prend, |)our 7', z' , deux intégrales indépendantes de l'équation 



(U) 



//', //, M' seront nuls, de façon que 



P(X', Y', Z') = »z'X'(lN'Y' + P'Z'), 

 et, par conséquent, l'équation linéaiie transformée sera 



1 m'N'---— 4- m'V ■, , ,} +f^-,-/ H-G'~; + G'-T ■+- 1IV~ o, 



^ ' fh- dy d.v di dx d) dz 



équation où l'on peut encore faire disparaître une des dérivées premières 

 au mojen d'une substitution de la forme Y = XW. 



/) Lorsque F' est un carré parfait, on ne peut plus prendre poui'-j!?' une 

 solution de l'équation (U), laquelle coïncide avec («). En supposant tou- 

 jours que y, z' sont deux solutions distinctes de cette dernière équation, 

 7/ et p seront nuls; mais l'annulation de ces quantités entraîne actuelle- 

 ment celle de N', P', en sorte que F' se réduit à m'-X'^, et par suite l'équa- 

 tion linéaire transformée est 



(II in"" -y-r. -h G -~ -h G' —r -i- G" —, +\\ n — n, 



^ ' dx ■ d.r d) dz ^ 



