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 où l'on peut encore faire disparaître, comme ci-dessus, la dérivée du pre- 



mier ordre -r-;- 



» Quand F n'est pas déconipos ible en deux facteurs linéaires, on peut, 

 par le changement des variables, faire disparaître, par exemple, toutes les 

 dérivées qui correspondent aux carrés X'-, Y'-, Z'-. 



» Il est superflu d'insister sur l'extension immédiate au cas d'un nombre 

 quelconque de variables indépendantes. 



» 4. Pour revenir à la question de Legendre et comprendre dans une 

 même forme les types (I) et (II), je supposerai qu'on n'a pas pris pour x' 

 une solution particulière de (U), j' et s' étant toujours des solutions indé- 

 pendantes de [a). Alors, en supprimant les accents et adoptant les nota- 

 tions de Legendre, sauf qu'il faudra supposer nuls les coefficients qu'il dé- 

 signe par e,/, g, on aura à considérer l'équation 



dx- dx dy dx dz dt oy ilz 



En ayant égard aux conditions (B"), (C") de l'auteur, on reconnaît tout de 

 suite qu'elles reviennent à supposer 



b =^ af[r, z), i=rn, k — raf [y, z), 

 V étant quelconque. Mais l'équation proposée peut alors s'écrire 



d-\ d fd\ .r/V-, j dV fdW ^d\'\ , 



■ 1^ -^""d^AdF -^J ^) -^^'^ -^''^i^/y +/7?ïj +^"=^ »; 



et, en déterminant, par les équations 



f/9 .-dO dr al 



d^'^^d'z^"-' 7h''^Jdz~'^-' 



deux variables indépendantes ô et / que l'on substituera à/ et z, l'équation 



deviendra 



d'\ d-\ , dV dV ,^, 



d.i- d.'dt d.r de 



et pourra être traitée comme à deux variables indépendantes. Cette circon- 

 stance explique la permanence de forme de l'équation (C") quand on passe 

 aux transformées ultérieures, et montre en même temps l'avantage des ré- 

 ductions préliminaires, d'autant plus que les intégrations aux diflérences 

 ordinaires prescrites par Laplace, dans le cas de deux variables indépen- 



C. R., 1872, 1" Semeure. (T. LXXIV, N" 12.) Io5 



