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 étant pris pour plan des xj-, et désignant l'angle du rayon r avec un axe 

 polaire fixe dans ce plan, la troisième équation (2) devient 



et comme, d'autre part, 



on en tire, par l'élimination de df, 



, - Cl' '/r 



cVj = — , 



r \^ r- — C'r 



et enfin, puiscpie v est une fonction connue de r, 



5 = C / ^ + const.; 



' !\r- — C-c- 



c'est l'écpiation polaire de la brachislochrone chercliée. 



» Je termine en indiquant quelques applications particulières de cette 

 dernière équation, » 



GÉOMI-ITRIE. — Recherches géométriques sur le contact du 3' ordre de deux 

 surfaces. Note de M. A. Maxxheim, présentée par M. Serret. 



« Depuis les travaux de M. Dupin, la théorie des contacts des surfaces 

 n'a guère fait de progrès. Les recherches géométriques ou analytiques sur 

 ce sujet ont été poursuivies dans la voie même adoptée par M. Dupin, et 

 cpù avait permis à ce géomètre d'étudier d'une façon si lumineuse ce qui 

 concerne le contact du 2^ ordre. Si l'on n'est pas allé au delà, c'est que 

 déjà, pour étudier le contact du 3" ordre, on doit faire intervenir une sur- 

 face comparatrice de cet ordre ou bien, en employant une indicatrice, on 

 doit prendre luie courbe du 3" ordre. Or, à mon avis, ni les courbes ni les 

 surfaces du 3" ordre ne sont encore assez familièies aux géomètres pour 

 pouvoir être employées pour un tel objet. 



» Reportons-nous aux deux procédés employés pour l'élude du contact 

 des courbes planes. La marche suivie par M. Dupin est analogue au pro- 

 cédé qui consiste à comparer une courbe en un de ses points, soit à une 

 circonférence de cercle, soit à une parabole osculatrice, soit à une conique 

 surosculatrice, etc. 



M L'autre procédé, dans lequel on fait usage des développées successives 

 et de leurs centres de courbure, n'a pas été étendu encore au cas de l'es- 

 pace. On avait pourtant, pour se guider dans celte extension, l'analogie 



