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» J'aborde maintenant la démonstration des théorèmes qui font l'objet 

 de cette Note. 



» 1. M. Dupin a démontré que : 



» Théor. I. — Dès que deux surfaces sont osculnlrices en un même point, 

 dans trois de leurs sections différentes, mais arbitraires, elles le sont encore dans 

 toutes les sections possibles faites à partir du point de contact par une surface 

 coupante quelconque. 



« Ce théorème se générabse"in]médialement ainsi : 



» Théor. II. — Dès que deux surfaces ont en un même point un contact du 

 3" oi'dre dans quatre de leurs sections différentes, mais arbitraires, elles ont encore 

 le même contact dans toutes les autres sections possibles faites à partir du point de 

 contact par une surface coupante quelconque (*). 



» Ce théorème se démontre simplement en considérant les courbes d'in- 

 tersection faites dans les deux surfaces par des plans sécants infiniment 

 voisins du point de contact. 



» 2. Théor. III. — Dès que deux surfaces, passant par im même point a, 

 admettent trois normalies respectivement osculatrices entie elles, ces deux surfaces 

 ont en a un contact du 3^ ordre. 



» Ce théorème se démontre comme le précédent, en coupant par des plans 

 infiniment voisins du pointa. On projette respectivement sur ces plans les 

 normalies qui ont pour dii-ectrices les courbes d'intersection des surfaces 

 par ces plans, et l'on fait usage de ce théorème : le contour apparent d'une 

 normaliesur le plan de sa courbe directrice est osculateur de la développée 

 de cette courbe. On arrive ainsi à voir que les développées des sections faites 

 dans les deux surfaces i)ar un plan quelconque passant en a sont oscula- 

 trices, et qu'alors les courbes d'intersection ont entre elles un contact 

 du 3*^ ordre. Ceci étant vrai pour un plan quelconque passant par 

 a, les deux surfaces ont aussi eu ce point un contact de 3'' ordre. 



» 3. Il résulte, comme on sait, du théorème de Meusnier, que les 

 centres de courbure de toutes les sections faites dans une surfiee par des 

 l)lans pas>anl par une même tangente à cette surface et qui correspondent 

 au point de contact de cette tangente sont sur une circonférence de 

 cercle. Voici im théorème nouveau de même nature : 



» TnÉoii. IV. — Les centres de cou7~hure des développées de toutes les sec- 



(*) Ce théorème, ainsi que certains antres parmi ceux qui vont suivre, est siisci'])tible 

 d'être clendu au cas d'un contact du ri" ordre; mais, dans ce travail, mes énoncés se rap- 

 porlciiint ùni|ilcmcrit au cniiiart du S'' ordre. 



