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 d'une surface. D'après cela, il suffit d'ajouter 4 au nombre G, qui exprime 

 le nombre des conditions auxquelles une surface est assujettie lorsqu'elle 

 doit être osculatrice à une autre en un point donné , pour trouver le 

 nombre lo, (jiti esl alors le nombre des ronditioDS auxquelles on assujettit une 

 surface lorsqu'on demande qu'elle oit, en un jmint d'une surjace donnée et avec 

 cette surface, un contact du troisième ordre. 



1) 7. Nous avons maintenant un nouveau moyen de prouver que 

 deux surfaces (S) et (S') ont en un même point a un contact du '5^ ordre. 



» Il nous suffit pour cela de démontrer que les nappes de leurs déve- 

 loppées sont osculatrices entre elles. C'est ainsi que je vais procéder pour 

 démontrer ce nouveau théorème (jui me paraît remarquable : 



» ThÉoR. VII. — Lorsque en un point a deux surfaces (S) et (S') ont des 

 lignes de courbure ayant entre elles un contact du 3" ordre, les surfaces (S) et 

 (S') ont entre elles en ce j)Qint a un contact du même ordre. 



» Désignons toujours par A la normale commune en a aux deux sur- 

 faces (S) et (S'), par A' et A" les axes de courbure des lignes de courbure 

 données. Ces deux droites rencontrent A aux points b et c, centres de 

 courbure principaux communs aux deux surfaces. 



» Menons au point a, la tangente ap à la ligne do courbure dont l'axe 

 de courbure est A' et appelons w le centre de courbure de la développée de 

 cette courbe. Le plan passant par le point w et par la tangente en a à l'au- 

 tre ligne de courbure est le lieu des centres de courbure des développées 

 des sections faites dans les deux surfaces par des plans menés par a p. Ce 

 plan rencontre la normale B, comn)une aux deux nappes (B)et (B') des 

 développées de (S) et (S'), en un point o qui est alors le centre de coiu- 

 bure commun des développées des sections faites dans les deux surfaces 

 par le plan normal (A, ap). 



» Ce point o n'est autre que le centre de courbure commun des sections 

 faites dans (B) el (B') par le plan normal (A, np). Nous avons ainsi une 

 courbe sur chacune des nappes (B) et (II'), et ces deux courbes sont oscu- 

 latrices entre elles. 



» Considérons les normalies à (B) el (li) qui ont ces courbes pour 

 directrices. Le [)lan normal en h à ces courbes directrices touche les deux 

 normalies au même point 5. Ces deux normalies oui, en outre, même plan 

 tangent au point /;; je vais faire voir qu'en un troisième point de B elles ont 

 encore un plan tangent comnuui et que, par suite, elles se raccoidcnt le 

 long de B. Les deux lignes de courbure tangentes à ap ayant entre elles 

 un contact du 3*^ ordre leurs surfaces polaires ont même axe de cour- 



