( q3i ) 

 bure. Cet axe est dans le plan normal commun k ces surfaces polaires, qui 

 est mené par A'. Il est la caractéristique de ce plan normal et il rencontre 

 B en un point (i qui est le point où ce plan normal touche nos deux nor- 

 nialies. 



» Ainsi, c'est aux points b, (i et o que les deux normalies ont les mêmes 

 plans tangents. 



» Ces deux normalies se raccordent donc: elles touchent le paraboloïde 

 des huit droites, dont j'ai parlé dans ma Communication du 1 1 février 1 872, 

 et qui est le même pour les deux surfaces (S) et (S'), aux deux mêmes 

 points. 



» Ce paraboloïde, comme ces normalies, est tangent aux plans des sec- 

 tions principales des nappes (B) et (B'), nous voyons donc que ces deux 

 points de contact sont les centres de courbure principaux de ces nappes. 



» Les deux nappes (B), (B') ayant les mêmes centres de courbure prin- 

 cipaux sur B et les mêmes plans des sections principales sont osculatrices 

 entre elles. 



» On démontrera de même que (C) et (C) sont osculatrices entre elles 

 en c. 11 résulte alors du théorème VI que (S) et (S') ont au point a un con- 

 tact du 3" ordre. 



» Remarquons que, tandis que quatre courbes quelconques tracées sur 

 deux surfaces (S) et (S') à partir d'un point a, ayant entre elles en ce point 

 un contact du 3"^ ordre, sont nécessaires (théorème II), pour que les deux 

 surfaces aient entre elles ce même contact, on voit maintenant qu'il suffit, 

 pour obtenir ce résultat, d'avoir ce contact du 3" ordre entre les deux 

 lignes de courbure des deux surfaces (S) et (S'). 



8. Lorsque deux surfaces ont entre elles en un point a un contact du 

 3^ ordre, les lignes de courbure de ces deux surfaces ont évidemment entre 

 elles en ce point le même contact. Il résulte de la démonstration précédente 

 que les nappes des développées de ces deux surfaces sont osculatrices entre 

 elles. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, qui est le réci- 

 proque du théorème V, et qu'on peut démontrer directement : 



ThéOR. VIII. — Si deux surfaces (S) et (S') ont en un point a un contact du 

 3" ordre, les normalies à ces surfaces, dont les directrices sont tracées à partir du 

 point a, sont osculatrices entre elles. 



» En terminant, j'ose exprimer une espérance, c'est de voir quelques 

 géomètres continuer ces recherches. 



» S'ils veulent bien me suivre dans la voie nouvelle que je viens de 

 tracer aujourd'hui, ils arriveront certainement à d'intéres.sants résultats. » 



