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 » M. Mathieu a signalé également l'existence d'un groupe de douze let- 

 tres, cinq fois transitif, et d'ordre 12. ii. 10.9 8. 



» Ces résultats donnent quelque intérêt à la question suivante : 



)) Trouver à quelles conditions doivent satisfaire les deux entiers m et k pour 

 qu'il existe des groupes k + 2 fois transitifs, de degré m ■+- k et d'ordre 

 {m -i- k){m -h k — i)... m [m — i). 



» Il est clair que s'il existe un groupe K satisfaisant aux conditions de 

 renoncé, le groupe G, formé [)ar celles de ses substitutions qui laissent 

 immobiles k lettres prises à volonté, sera deux fois transitif par rapport aux 

 m lettres qu'il déplace, et aura pour ordre in[m — i). La première condi- 

 tion pour que le groupe R soit possible, est que le groupe G le soit lui- 

 même. 



» On obtient à cet égard le théorème suivant : 



» Théorème. — Pour que le groupe G, deux fois transitif, de degré m et 

 d'ordre ni[m — i), puisse exister, il est nécessaire et suffisant que m soit une 

 puissance d'un nombre premier, telle que p". 



» Les lettres de G étant caractérisées par ti indices x, J' ■,..., variables de o 

 à p — I , le groupe G s'obtiendra en combinant les substitutions 



1 Jc,y\..., X -h u,x -h fi,... I 



avec des substitutions de la forme 



I x,r,..., ax + by + . ..y a' x -4- h' y -+-...,... |. 



Ces dernières substitutions forment un groupe partiel H, d'ordre m — i, 

 et simplement transitif par rapport aux m — 1 lettres qu'il déplace. 



» Le groupe G sera susceptible d'autant de formes distinctes qu'il y a 

 de manières distinctes de déterminer le groupe H contenu dans le groupe 

 linéaire et satisfaisant aux conditions précédentes, à la condition de ne pas 

 considérer comme distinctes deux formes différentes du groupe H, réduc- 

 tibles l'une à l'autre |)ar un changement d'indices indépendants. 



» Il existe parfois plusieurs manières distinctes de déterminer le groupe H; 

 mais, dans tous les cas, on aura une solution admissible en le supposant 

 formé des puissances d'une substitution linéaire d'ordre p" — i. Cette sub- 

 stitution aura pour forme canonique la suivante : 



/ étant une racine primitive de la congruencc /''"'"'^(mod p) et z, z,,... 

 des indices imaginau'es conjugués formés avec /. 



