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» La démonstration du théorème ci-dessus repose essentiellement sur le 

 lemme suivant, d'où l'on peut tirer d'ailleurs d'autres conséquences : 



» Un groupe transitif T, entre ni lettres n, h, c,..., (ontient nécessairement 

 des siibslitittions qui déplaceni toutes les lettres. Ces substitutions sont en 

 nombre 



Y = m -N,„_o -h...-\ N^ + - -.H No 



\ 3. m — X m 



N^. étant le nombre des substitutions de T qui ne déplacent que x lettres, 

 parmi lesquelles a ne se trouve pas. (Tout groupe contenant la substitution 

 unité, on aura No = i, et Y sera au moins égal à m ~ i .) 



M Pour le groupe cherché G, la formule ci-dessus donne Y = ;?2 — i. 



» Le groupe deux fois transitif G étant construit, on pourra essayer d'en 

 déduire des groupes 3, 4vm k -h 2 fois transitifs, par l'adjonction de sub- 

 stitutions contenant i, a,... k lettres nouvelles. Mais on obtient le résultat 

 suivant : 



i Si m < 5, on pourra poursuivre cette opération indéfiniment, et l'on 

 obtient ainsi les groupes symétriques et les groupes alternés de tous les 

 degrés. 



j Si m = 3-, on obtiendra pour G deux groupes différents G,, Go- L'un 

 d'eux ne donne naissance qu'à un groupe trois fois transitif R,. De l'autre 

 on peut déduire successivement un groupe trois fois transitif de dix lettres, 

 un groupe quatre fois transitif de onze lettres, un groupe cinq fois transitif 

 de douze lettres. Mais là il faut s'arrêter. 



)) Pour toute autre valeur de m, G ne pourra donner naissance qu'à un 

 groupe trois fois transitif. 



» Le groupe cinq fois transitif de douze lettres, découvert par M. Mathieu, 

 n'est donc pas, comme le groupe trois fois transitif de six lettres, le premier 

 terme d'une série. Il reste unique de son espèce. » 



ANALYSlî MATHÉMATIQUE. — Sui' un système particulier d'équations aux diffé- 

 rences partielles. Note de M. En, Combescure, présentée par M. Serret. 



« Soit le système 



IX ■ 



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A-, h Aa -, 1- . . . -t- A„ j- — L,,n , 



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