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 dans lequel X,, Xj,.--. X„, Z,, Zj,..., Z,„ sont des fonctions données quel- 

 conques tant des variables indépendantes x,, x^,..., x„ que des fonctions 

 inconnues z,, Zovi ^m- 



» Ces équations déterminent les dérivées du premier ordre, et par suite 

 celles des ordres supérieurs, relatives à x,, au moyen des dérivées relatives 

 aux autres variables indépendantes. Si donc on se donne arbitrairement 

 en ce.,, Xi,..., x,„ les valeurs de z,, z^_,..., z,„, qui sont censées répondre à 

 la valeur particulière .x',"' de x^, on obtiendra par la formule de Taylor les 

 expressions les plus générales des fonctions inconnues développées suivant 

 les puissances de jt,. Réciproquement, tout système fini de m équations 

 d'où l'on pourra déduire des expressions de r,, Zj,..., z,„ vérifiant les pro- 

 posées (i), et tel que, pour x^ — x\', il en résulte pour ces fonctions des 

 valeurs arbitraires en x,, x.,, . . . , x„, sera le système intégral le plus gé- 

 néral. 



)) Cela étant, on peut obtenir ce système intégral par le procédé suivant : 

 » On intègre complètement les équations aux différences ordinaires 



dxi rfr, dx„ ilzy dz. dz^ 



(^) xT ~ X, x; "~ "zT ~ zT z,„ ■ 



» Soient 



a\—j\i a.,=Jn,..., ap==fp, 



où 



p =z m -h fi — I , 



les intégrales résolues par rapport aux constantes que cette intégration in- 

 troduit. I.e système intégral des équations{i) est représenté par 



^^ I ;••. ' 



où <p,, ^j,-.-, <Pm désignent des fonctions arbitraires. 



» Il est visible d'abord, à cause des signes arbitraires tp,, fa,..., (p,„, que 

 les équations (3), quand on y fait jt, = x^^\ définissent pour z'°\ Za'v^ 

 z^', des fonctions arbitraires en x^, x^,..., x„. 



>. Il reste à prouver que ces mêmes équations (3) fournissent pour z,, 

 Zo,..., z,„ des valeurs qui satisfont aux pro])Osées (0. 



» On observe, en premier lieu, qu'une quelcon(]ue des fonctions J vé- 



