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à m inconnues 



<7, x; +...+ rt^a-,; + b,.,jc,a:. -h.-.^c (oiod. M), 



où M est un entier quelconque. 



» Soit M = P'P',', ...,?, P,,... étant premiers. On voit immédiatement 

 que le nombre cherclié est égal au produit des nombres de solutions de la 

 même congruence relativement aux modules P', P'j, On peut donc ad- 

 mettre, sans nuire à la généralité de la question, que M est une puissance 

 d'un nombre premier, telle que P^. 



)) La solution de la question dans ce dernier cas s'obtient aisément en 

 ramenant le premier membre de la congruence, par un cbangemcnt de 

 variables, à une forme canonique plus traitable que la forme générale. 



» A cet effet, si P est impair, on fera la transformation de manière à faire 

 disparaître les carrés des variables, ce qui sera toujours possible. Réunissant 

 ensuite celles des variables dont les coefficients sont divisibles par la même 

 puissance de P, et mettant cette puissance en évidence, on mettra la con- 

 gruence sous la forme 



P*2„+ P?:ip -H... = c (mod.P^), 

 en posant 



X, X,,..., Y, Y,,... étant les nouvelles variables, et A, A ,,..., B, B,,... des 

 entiers premiers à P. On peut d'ailleurs faire en sorte queA,,... se rédui- 

 sent à l'unité, et A à l'unité ou à un nombre «, cboisi arbitrairement parmi 

 les non-résidus quadratiques de P. De même pour B, B,,..., 



» Cela posé, le nombre des solutions cherchées dépend des valeurs 

 de a, jS,..., des nombres d'indices respectivement contenus dans les suites 

 2oj, -p,..., et enfin des valeurs de A, B,.... Il s'obtient aisément dans cliaque 

 cas particulier'. 



» Le cas où P = 2 est plus compliqué; car il n'est plus possible en général 

 de faire disparaître les rectangles des variables. La congruence aura pour 

 forme réduite la suivante 



P''Za + pP:Sp-t-... = c (mod.P^). 



Mais les sommes 1^, 2p,... ne seront plus des sommes de carrés. L'une 

 quelconque d'entre elles, 1^, sera en général de la forme 



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