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 obliques de U„, ; par les pieds a de ces obliques on mène (m -\- n)n' tan- 

 gentes àU,„', qui coupent U,„en [m -\- n)n'[ni — i) points a'; les obliques de 

 ces points cou])ent Len n'[m — \)[m -+- n) points u. De même, à un point ;< 

 correspondent n'[m — i)(m + n) points x. 11 existe donc 2 n' [m — i){m ■+- n) 

 points X qui coïncident chacun avec un point u correspondant. Mais il y 

 a n'{n + d') solutions étrangères, dont n'ii sont dues aux ?i'n tangentes com- 

 munes à U,„' et U„, et 7i'd' aux points de rebroussement de U,„. Il reste 



2n'{m — i){m -+- n) — n' ?i — n'd' = n' [im[in -\- n — i) — 3n — d' \. 



C'est le nombre des couicidences de x et u. Or chaque corde an' satisfaisant 

 à la question, donne lieu à deux coïncidences; donc le nombre des cordes 

 telles, que les obliques en leurs extrémités a, a' se coupent sur L, est 



n 

 2 



- [2m{m + n — \) — ?>n — d']. 

 Donc ce nombre exprime l'ordre de la courbe. Ce qu'il fallait démontrer. 



» La courbe a — — ^^ pouits sur une courbe {],„". 



2 ' 



Il s'ensuit que, réciproquement: 



» II. Si de chaque point d'une courbe U,,// on abaisse des obliques sur une 



courbe V^, les cordes qui joignent deux à deux les pieds de ces obliijues enveloppent 



1,1, m"[im'{m -{- n — 2) — 3rt — <■/'] 



une courbe de la classe • 



2 



, . m" n'\2m(m -i- n — 2) — 3n — d'] 



» Car cette courbe aura toujours ^ tan- 

 gentes communes avec une courbe de la classe n'. 



» Si dans le théorème I la courbe U,„' se réduit à un point O, Ji' — i, et 

 l'on a ce théorème : 



» III. Une droite tournant autour d'un point O rencontre une courbe U,„ en 

 m points; les obliques de ces points se coupent deux à deux sur une courbe de 



,, , 2iii(m-hn — l) — 3« — d' 



l ordre — ^^ 



2 



» Et si dans le théorème II, la courbe U,„" est une droite, m" = i ; et l'on 

 en conclut que : 



-) IV. Si de chaque point d'une droite 1) on abaisse des obliques sur une 

 courbe U,„, les cordes qui joignent deux à deux les pieds de ces obliques enve- 



2Hi{m + n — l) — 3n — d' 



loppent une courbe de la classe 



2 

 » Si l'on veut démontrer ce théorème directement, on trouve des solu- 



